Matemática · caderno azul

Questão 166 do ENEM 2017

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2017:

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Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo $P (t) = A + B \cos (k t)$ em que $A$ , $B$ e $K$ são constantes reais positivas e $t$ representa a variável tempo, medida em segundo. Considere que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas.

Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados:

A função $P (t)$ obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi

Alternativa A (correta):

P (t) = 99 + 21 \cos (3 π t)

Correta — A média das pressões, a metade da diferença e o período de 2/3 s dão A, B e k.

17,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

P (t) = 78 + 42 \cos (3 π t)

Incorreta — Tomou a mínima como A e a diferença das pressões como B: o máximo é 120, mas o mínimo cai para 36.

21,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

P (t) = 99 + 21 \cos (2 π t)

Incorreta — Tomou o período como 1 s, sem converter os 90 batimentos por minuto.

21,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

P (t) = 99 + 21 \cos (t)

Incorreta — Com k = 1 o período seria de cerca de 6,3 s, bem maior que 2/3 s.

20,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

P (t) = 78 + 42 \cos (t)

Incorreta — Errou A e B como na B e ainda usou k = 1.

17,9% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2017

Acerto no Brasil: 17,8%
Errada mais marcada: C, 21,8%
Nível na TRI: cerca de 980

Deixar para o fim Só 18% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2017 (INEP) · 4.434.517 participantes

Gabarito oficial: letra A · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Funções trigonométricas: período e frequência
Habilidade do ENEM: H19: Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.

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Questões parecidas: funções trigonométricas: período e frequência em outras provas

O que você precisa saber

• $A + B \cos (k t)$ : máximo $A + B$ e mínimo $A - B$
• Período do cosseno: $T = \frac{2 π}{k}$
• Batimentos por minuto: um batimento a cada $\frac{60}{n}$ s

Ideia da questão

A questão quer a lei da pressão a partir da máxima, da mínima e dos batimentos por minuto. Ache A e B pela média e pela metade da diferença das pressões, e k pelo período de um batimento.

Resolução passo a passo

Passo 1 Achar A e B

A função oscila entre $A - B$ e $A + B$ , então o máximo (120) e o mínimo (78) dão duas equações. A é o valor do meio, e B é a metade da diferença.
$\begin{aligned} A & = \frac{120 + 78}{2} \\ = \frac{198}{2} \\ = 99 \\ B & = \frac{120 - 78}{2} \\ = \frac{42}{2} \\ = 21 \end{aligned}$

Passo 2 Achar o período

Um batimento é o intervalo entre duas pressões máximas, ou seja, um período. Em 60 segundos há 90 batimentos.
$\begin{aligned} T & = \frac{60}{90} \\ = \frac{6^{: 3}}{9_{: 3}} \\ = \frac{2}{3} s \end{aligned}$

Passo 3 Achar k

O período do cosseno é $2 π$ dividido por k, então k é $2 π$ dividido pelo período.
$\begin{aligned} k & = \frac{2 π}{T} \\ = 2 π \div \frac{2}{3} \\ = 2 π \cdot \frac{3}{2} \\ = 3 π \end{aligned}$

Atenção

A frequência é por minuto e t está em segundos: usar 1 segundo como período daria $k = 2 π$ .

Conclusão

A pressão oscila em torno de 99 com amplitude 21 e repete o ciclo a cada $\frac{2}{3}$ s. Portanto, a alternativa correta é a A.

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