Matemática

Questão 148 do ENEM 2013 PPL

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

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O quadrado $A B C D$ , de centro $O$ e lado 2 cm, corresponde à trajetória de uma partícula P que partiu de $M$ , ponto médio de $A B$ , seguindo pelos lados do quadrado e passando por $B$ , $C$ , $D$ , $A$ até retornar ao ponto $M$ .

Figura geométrica, na questão 148 do ENEM 2013 PPL

Seja $F (x)$ a função que representa a distância da partícula P ao centro $O$ do quadrado, a cada instante de sua trajetória, sendo $x$ (em cm) o comprimento do percurso percorrido por tal partícula. Qual o gráfico que representa $F (x)$ ?

Alternativa A (correta): Figura da alternativa A

Correta — começa em 1, tem bicos de 1,41 nos vértices e volta a 1 nos pontos médios, em curva.

Alternativa B: Figura da alternativa B

Incorreta — mostra distância constante 1, como se a partícula girasse em círculo ao redor de O.

Alternativa C: Figura da alternativa C

Incorreta — pico de 2 nos vértices (soma 1 + 1 em vez de Pitágoras), com trechos retos.

Alternativa D: Figura da alternativa D

Incorreta — começa em 2: parte de um vértice e soma os catetos em vez de usar Pitágoras.

Alternativa E: Figura da alternativa E

Incorreta — a curva está certa, mas começa em 1,41, como se a partícula saísse de um vértice.

Gabarito oficial: letra A · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Função por partes: interpretação de gráfico ou tabela
Habilidade (classificação da Métria): H20: Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.

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O que você precisa saber

• Distância entre dois pontos: Pitágoras
• Metade do lado e metade da diagonal do quadrado
• Gráfico em reta ou em curva entre dois pontos

Ideia da questão

A questão quer o gráfico da distância da partícula ao centro O enquanto ela percorre o contorno do quadrado. Calcule F no ponto médio e nos vértices e veja se, entre eles, o gráfico é reto ou curvo.

Resolução passo a passo

Passo 1 Marcar o ponto de partida

A partícula parte de M, o ponto médio de AB, em x = 0. O centro O está a 1 cm do lado, que é metade do lado de 2 cm, então F(0) = 1. Nos outros pontos médios (x = 2, 4, 6 e 8) também vale 1.

Passo 2 Calcular F nos vértices

Os vértices B, C, D e A ficam em x = 1, 3, 5 e 7. A distância de O a um vértice é a metade da diagonal, pelo teorema de Pitágoras.
$\begin{aligned} F & = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} \\ = \sqrt{2} \\ \approx 1, 41 \end{aligned}$

Atenção

No vértice, a distância não é 1 + 1 = 2: somar os catetos leva aos gráficos de pico 2 (C e D).

Passo 3 Calcular F entre os pontos

Quando a partícula está a uma distância $t$ do ponto médio do lado, O fica a 1 cm do lado, e Pitágoras dá a distância.
$F = \sqrt{1 + t^{2}}$

Passo 4 Testar se é reta

Na metade do trecho, $t = 0, 5$ . Uma reta entre os extremos 1 e 1,41 passaria por 1,21, mas F fica abaixo disso.
$\begin{aligned} F & = \sqrt{1 + 0, 5^{2}} \\ = \sqrt{1, 25} \\ \approx 1, 12 \end{aligned}$

Passo 5 Escolher o gráfico

F começa em 1, sobe em curva até 1,41 em x = 1, desce em curva até 1 em x = 2 e repete, com bicos em x = 1, 3, 5 e 7.

Conclusão

F começa em 1, chega a 1,41 em cada vértice e volta a 1 em cada ponto médio, com trechos curvos entre eles. Portanto, a alternativa correta é a A.

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