Matemática

Questão 170 do ENEM 2013 PPL

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

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Para um principiante em corrida, foi estipulado o seguinte plano de treinamento diário: correr 300 metros no primeiro dia e aumentar 200 metros por dia, a partir do segundo. Para contabilizar seu rendimento, ele utilizará um chip, preso ao seu tênis, para medir a distância percorrida nos treinos. Considere que esse chip armazene, em sua memória, no máximo 9,5 km de corrida/caminhada, devendo ser colocado no momento do início do treino e descartado após esgotar o espaço para reserva de dados.

Se esse atleta utilizar o chip desde o primeiro dia de treinamento, por quantos dias consecutivos esse chip poderá armazenar a quilometragem desse plano de treino diário?

Alternativa A: 7

Incorreta — Somou o aumento de 200 m já no 1º dia (n² + 4n ≤ 95), o que fecha só 7 dias.

Alternativa B (correta): 8

Correta — A soma de 8 dias é 8 000 m, e a de 9 dias passa dos 9 500 m do chip.

Alternativa C: 9

Incorreta — Arredondou para cima a raiz 8,8 de n² + 2n = 95, mas 9 dias somam 9 900 m.

Alternativa D: 12

Incorreta — 12 dias somam 16 800 m, bem acima dos 9 500 m do chip.

Alternativa E: 13

Incorreta — 13 dias somam 19 500 m, mais que o dobro do limite do chip.

Gabarito oficial: letra B · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: PA: soma dos termos
Habilidade (classificação da Métria): H2: Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

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Questões parecidas: pa: soma dos termos em outras provas

O que você precisa saber

• Aumento fixo por dia forma uma PA
• Soma dos $n$ primeiros termos: $n (a_{1} + a_{n}) \div 2$
• Converter km em m: 9,5 km = 9 500 m

Ideia da questão

A questão quer o maior número de dias em que a soma dos treinos ainda cabe na memória do chip. Monte a soma dos n primeiros dias, compare com o limite e teste os valores inteiros de n.

Resolução passo a passo

Passo 1 Escrever o treino diário

O treino começa em 300 m e aumenta 200 m por dia, mas só a partir do segundo dia: é uma PA de razão 200.

Atenção

O primeiro dia não tem aumento. Somar 200 m já no dia 1 faz o limite chegar antes e dá 7 dias.

$\begin{aligned} a_{n} & = 300 + 200 (n - 1) \\ = 300 + 200 n - 200 \\ = 100 + 200 n \end{aligned}$

Passo 2 Somar n dias de treino

O chip guarda a soma dos treinos, e a soma dos $n$ primeiros termos de uma PA é $n (a_{1} + a_{n}) \div 2$ .
$\begin{aligned} S_{n} & = \frac{n (300 + a_{n})}{2} \\ = \frac{n (400 + 200 n)}{2} \\ = 200 n + 100 n^{2} \end{aligned}$

Passo 3 Aplicar o limite do chip

O limite é 9,5 km, ou seja, 9 500 m. A soma dos treinos não pode passar disso.

100 n^{2} + 200 n

\leq 9 500

n^{2} + 2 n

\leq 95

: 100 nos dois lados

Passo 4 Testar os valores de n

Como $n$ é um número de dias inteiro, basta testar os inteiros perto da raiz de $n^{2} + 2 n = 95$ .

Teste de n

n	n² + 2n	Cabe nos 95?
8	80	sim
9	99	não

Conclusão

Em 8 dias o chip armazena 8 000 m, mas o nono treino levaria a soma a 9 900 m, acima do limite. Portanto, a alternativa correta é a B.

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