Matemática · caderno azul

Questão 156 do ENEM 2017

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2017:

Marcar para revisar

Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120°. A ponta seca está representada pelo ponto $C$ , a ponta do grafite está representada pelo ponto $B$ e a cabeça do compasso está representada pelo ponto $A$ conforme a figura.

Figura no plano cartesiano, na questão 156 do ENEM 2017

Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados.

Tabela com as colunas Tipo de material, Intervalo de valores do raio (cm), na questão 156 do ENEM 2017

Considere 1,7 como aproximação para $\sqrt{3}$ .

O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será

Alternativa A: I.

Incorreta — Calculou só a altura do triângulo (10 · cos 60° = 5) em vez da base CB.

16,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: II.

Incorreta — Usou +1/2 como cos 120°: a conta dá R² = 100 e R = 10 cm.

23,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: III.

Incorreta — Tratou o ângulo como reto (Pitágoras): R² = 200 e R ≈ 14 cm, na faixa de 10 a 15.

25,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D (correta): IV.

Correta — CB = 10√3 ≈ 17 cm, e 17 está entre 15 e 21.

22,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: V.

Incorreta — Dobrou o resultado da lei dos cossenos: 2 · 17 = 34 cm.

11,1% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2017

Acerto no Brasil: 22,6%
Errada mais marcada: C, 25,5%
Nível na TRI: cerca de 860

Microdados do ENEM 2017 (INEP) · 4.434.517 participantes

Gabarito oficial: letra D · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Leis dos senos e dos cossenos
Habilidade do ENEM: H9: Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

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Questões parecidas: leis dos senos e dos cossenos em outras provas

O que você precisa saber

• Lei dos cossenos: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$
• $\cos 120^{\circ} = - \frac{1}{2}$
• Em $15 < R \leq 21$ , o 15 não entra e o 21 entra

Ideia da questão

A questão quer o raio da tampa, que é a distância entre a ponta seca e a ponta do grafite. Ache esse lado do triângulo com a lei dos cossenos e veja em qual intervalo da tabela ele cai.

Resolução passo a passo

Passo 1 Identificar o triângulo

As hastes AC e AB medem 10 cm e formam 120° em A. O raio R é a distância CB, o terceiro lado do triângulo ABC.

Passo 2 Aplicar a lei dos cossenos

Com os dois lados de 10 cm e o ângulo de 120° entre eles, o quadrado do terceiro lado é:

R^{2}

= 10^{2} + 10^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos 120^{\circ}

cos 120° = −1/2

= 100 + 100 - 200 \cdot (- \frac{1}{2})

= 100 + 100 + 100

= 300

Atenção

O cosseno de 120° é negativo. Com +1/2 no lugar de −1/2, a conta dá $R^{2} = 100$ e $R = 10$ cm.

Passo 3 Calcular o raio

Para tirar a raiz de 300, separa-se o fator 100, que é quadrado perfeito, e usa-se $\sqrt{3} \approx 1, 7$ .
$\begin{aligned} R & = \sqrt{300} \\ = \sqrt{100 \cdot 3} \\ = 10 \sqrt{3} \\ \approx 10 \cdot 1, 7 \\ = 17 cm \end{aligned}$

Passo 4 Escolher o material

O raio de 17 cm é maior que 15 cm e menor que 21 cm, então está no intervalo $15 < R \leq 21$ , que é o do tipo IV.

Conclusão

O raio da tampa vale cerca de 17 cm, valor que está no intervalo de 15 cm a 21 cm. Portanto, a alternativa correta é a D.

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