Matemática · caderno azul

Questão 177 do ENEM 2017

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2017:

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Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.

Tabela com as colunas Opção, Formato, na questão 177 do ENEM 2017

As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.

A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.

A opção que mais se adequa às condições da empresa é

Alternativa A: I.

Incorreta — $26 \times 10^{5} = 2 600 000$ , mais que o dobro de 1 milhão.

13,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: II.

Incorreta — $10^{6}$ é exatamente 1 milhão, que não é superior ao esperado.

12,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: III.

Incorreta — $26^{2} \times 10^{4} = 6 760 000$ , mais de três vezes o limite de 2 milhões.

33,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: IV.

Incorreta — só $10^{5} = 100 000$ senhas, sem chegar a 1 milhão.

11,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E (correta): V.

Correta — $26^{3} \times 10^{2} = 1 757 600$ , entre 1 e 2 milhões.

28,7% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2017

Acerto no Brasil: 28,7%
Errada mais marcada: C, 33,9%
Nível na TRI: cerca de 730

Microdados do ENEM 2017 (INEP) · 4.434.517 participantes

Gabarito oficial: letra E · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Princípio Fundamental da Contagem, incluindo senhas, placas e contagem por tabela · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H5: Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.

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Questões parecidas: princípio fundamental da contagem, incluindo senhas, placas e contagem por tabela em outras provas

O que você precisa saber

• Senha: multiplicar as opções de cada posição
• 26 letras e 10 dígitos, que podem repetir
• “Superior a” não inclui o valor igual

Ideia da questão

A questão quer o formato de senha com mais de 1 milhão e, no máximo, 2 milhões de possibilidades. Conte as senhas de cada formato multiplicando as opções de cada posição e compare com os dois limites.

Resolução passo a passo

Passo 1 Definir o intervalo permitido

Se $S$ é o número de senhas, ele precisa ser maior que 1 000 000 e, no máximo, igual ao dobro disso, 2 000 000.
$1 000 000 < S \leq 2 000 000$

Passo 2 Contar as senhas por formato

Cada L tem 26 opções, cada D tem 10 e as escolhas de cada posição se multiplicam.

Senhas por formato

Opção	Conta	Senhas
I	26 × 10⁵	2 600 000
II	10⁶	1 000 000
III	26² × 10⁴	6 760 000
IV	10⁵	100 000
V	26³ × 10²	1 757 600

Observação

Sem calculadora: $26 \times 26 = 676$ e $676 \times 26 = 17 576$ ; com mais dois dígitos, $17 576 \times 100 = 1 757 600$ .

Passo 3 Escolher o formato certo

I e III passam de 2 000 000, IV não chega a 1 000 000 e II tem exatamente 1 000 000. Só o formato V atende às duas condições.
$1 000 000 < 1 757 600 \leq 2 000 000$

Atenção

"Superior a 1 milhão" não inclui o próprio 1 milhão: o formato II fica de fora.

Conclusão

O formato LLLDD gera 1 757 600 senhas, mais que 1 milhão e menos que 2 milhões. Portanto, a alternativa correta é a E.

Desafio imediato

Uma nova questão com o mesmo raciocínio, para ver se você aprendeu.

Este desafio é livre para você experimentar. Os das outras questões fazem parte do Métria PRO.

A mesma situação da questão, com outros números.

Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente cem mil clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.

As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.

A opção que mais se adequa às condições da empresa é

II.

III.

IV.

Passo 1 Contar as senhas por formato

Os limites são mais que 100 000 e, no máximo, 200 000. Cada L tem 26 opções, cada D tem 10 e as escolhas se multiplicam.

Senhas por formato

Opção	Conta	Senhas
I	26 × 10⁴	260 000
II	10⁵	100 000
III	26³ × 10	175 760
IV	26² × 10³	676 000
V	10⁴	10 000

Passo 2 Comparar com os limites

I passa de 200 000, II tem exatamente 100 000 (não é superior), IV passa de 200 000 e V não chega a 100 000. Só o formato III fica entre os limites.
Portanto, a alternativa correta é a C.

O mesmo raciocínio numa situação diferente.

A prefeitura de uma cidade vai cadastrar as bicicletas de seu sistema de aluguel público, e cada bicicleta receberá um código de identificação diferente. A previsão é de aproximadamente 10 mil bicicletas. Para não gerar códigos demais, a prefeitura quer que o número de códigos distintos possíveis seja superior ao número de bicicletas previsto, mas não superior ao dobro dele.

Os códigos terão um dos formatos abaixo, em que “L” representa uma letra maiúscula (26 possíveis) e “D”, um dígito (10 possíveis). Letras e dígitos podem se repetir.

Formato I: LLLL
Formato II: LLL
Formato III: DDDD
Formato IV: LLDD
Formato V: LLD

O formato que atende às condições da prefeitura é o de número

II.

III.

IV.

Passo 1 Contar os códigos por formato

Os limites são mais que 10 000 e, no máximo, 20 000. Cada letra tem 26 opções, cada dígito tem 10 e as escolhas se multiplicam.

Códigos por formato

Formato	Conta	Códigos
I	26⁴	456 976
II	26³	17 576
III	10⁴	10 000
IV	26² × 10²	67 600
V	26² × 10	6 760