Matemática · caderno azul

Questão 150 do ENEM 2015 PPL

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2015:

Marcar para revisar

Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema.

A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos $A$ , $B$ , $C$ e $D$ representam estabelecimentos comerciais desse bairro.

Figura no plano cartesiano, na questão 150 do ENEM 2015 PPL

Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 31 \leq 0$ .

A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não.

Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas

Alternativa A:

A

C

Incorreta — deixa B de fora, mas B está dentro: distância ao quadrado 17, menor que 36.

21,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

B

C

Incorreta — deixa A de fora, mas A está dentro: distância ao quadrado 20, menor que 36.

20,1% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

B

D

Incorreta — troca o sinal do centro e usa (−1, −2); o centro certo é (1, 2).

19,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D (correta):

A

B

C

Correta — A (20), B (17) e C (9) ficam abaixo de 36, e D (50) fica fora.

22,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

B

C

D

Incorreta — inclui D, que está fora: distância ao quadrado 50, maior que 36.

15,3% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2015

Acerto no Brasil: 22,3%
Errada mais marcada: A, 21,9%
Nível na TRI: cerca de 830

Microdados do ENEM 2015 (INEP) · 3.896 participantes

Gabarito oficial: letra D · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Circunferência no plano: centro e raio
Habilidade (classificação da Métria): H8: Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Habilidade (classificação da Métria): H22: Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.

Simulado ENEM 2026 de Matemática

45 questões novas, no estilo do ENEM, com tempo de prova e nota estimada pela TRI no fim. Grátis, sem precisar de conta.

Fazer o simulado

Questões parecidas: circunferência no plano: centro e raio em outras provas

O que você precisa saber

• Completar quadrados: $x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1$
• Círculo: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} \leq r^{2}$ , centro $(a, b)$
• Ponto dentro: distância² ao centro ≤ r²

Ideia da questão

A questão quer saber quais pontos estão dentro do círculo que a inequação descreve. Complete os quadrados para achar o centro e o raio e compare a distância de cada ponto ao centro com o raio.

Resolução passo a passo

Passo 1 Completar os quadrados

Os termos de x e os de y ficam juntos, o número passa para o outro lado e se soma a ambos os lados o que completa cada quadrado.

x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 31

\leq 0

x^{2} - 2 x + y^{2} - 4 y

\leq 31

+31 nos dois lados

(x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 4 y + 4)

\leq 31 + 1 + 4

+1 e +4 nos dois lados

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2}

\leq 36

Atenção

Não troque o sinal do centro: de $(x - 1)^{2}$ sai x = 1, e não x = −1.

Passo 2 Identificar centro e raio

A inequação descreve o círculo de centro $(1, 2)$ e raio ao quadrado 36, ou seja, raio 6. O ponto fica na área de cobertura quando sua distância ao quadrado até o centro é no máximo 36.

Passo 3 Calcular as distâncias

Cada ponto usa as diferenças entre suas coordenadas e as do centro, lidas na malha: A (5, 4), B (−3, 1), C (4, 2) e D (−4, −3).

Distância ao quadrado até o centro

Ponto	Conta	Resultado
A	4² + 2²	20
B	(−4)² + (−1)²	17
C	3² + 0²	9
D	(−5)² + (−5)²	50

Passo 4 Comparar com o raio

Os pontos A, B e C têm distância ao quadrado menor que 36, e D, com 50, passa de 36.

Conclusão

Apenas A, B e C estão a uma distância do centro menor que o raio, enquanto D fica fora do círculo. Portanto, a alternativa correta é a D.

Desafio imediato

Uma nova questão com o mesmo raciocínio, para ver se você aprendeu.

Disponível no Métria PRO

O desafio fixa a habilidade desta questão e a sua resposta entra no seu mapa de habilidades.

Crie uma conta grátis e abra 3 desafios à sua escolha.

Criar conta grátis

Conhecer o PRO Veja um desafio de exemplo