Matemática · caderno azul

Questão 174 do ENEM 2020

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2020:

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Um modelo de telefone celular oferece a opção de desbloquear a tela usando um padrão de toques como senha.

Figura da questão 174 do ENEM 2020 (Princípio Fundamental da Contagem, incluindo senhas, placas e contagem por tabela)

Os toques podem ser feitos livremente nas 4 regiões numeradas da tela, sendo que o usuário pode escolher entre 3, 4 ou 5 toques ao todo.

Qual expressão representa o número total de códigos existentes?

Alternativa A:

4^{5} - 4^{4} - 4^{3}

Incorreta — subtrai os casos de 4 e 3 toques, mas os casos se somam.

7,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B (correta):

4^{5} + 4^{4} + 4^{3}

Correta — soma dos casos: $4^{3}$ com 3 toques, $4^{4}$ com 4 e $4^{5}$ com 5.

23,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

4^{5} \times 4^{4} \times 4^{3}

Incorreta — multiplica os casos, como se o usuário fizesse os três códigos ao mesmo tempo.

24,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

(4!)^{5}

Incorreta — o fatorial ordena 4 itens sem repetir, mas aqui o mesmo toque pode se repetir em qualquer região.

20,1% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

4^{5}

Incorreta — conta só os códigos de 5 toques e deixa de fora os de 3 e 4.

24,0% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2020

Acerto no Brasil: 23,5%
Errada mais marcada: C, 24,7%
Nível na TRI: cerca de 780

Microdados do ENEM 2020 (INEP) · 26.421 participantes

Gabarito oficial: letra B · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Princípio Fundamental da Contagem, incluindo senhas, placas e contagem por tabela
Habilidade do ENEM: H2: Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

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Questões parecidas: princípio fundamental da contagem, incluindo senhas, placas e contagem por tabela em outras provas

O que você precisa saber

• Toques livres: cada toque tem 4 opções, $4 \times 4 \times \dots$
• Casos que não ocorrem juntos (3, 4 ou 5 toques): somam-se

Ideia da questão

A questão quer o total de códigos que podem ter 3, 4 ou 5 toques em 4 regiões. Conte os códigos de cada tamanho e some os três casos.

Resolução passo a passo

Passo 1 Contar códigos de cada tamanho

Cada toque pode cair em qualquer das 4 regiões, então cada posição do código tem 4 opções.

Código de 3 toques

1º toque

4

2º toque

4

3º toque

4

$\begin{aligned} 4 \times 4 \times 4 & = 4^{3} \\ 4 \times 4 \times 4 \times 4 & = 4^{4} \\ 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 & = 4^{5} \end{aligned}$

Passo 2 Somar os casos

O usuário escolhe um só tamanho de código, então os casos são alternativas e se somam.
$4^{3} + 4^{4} + 4^{5}$

Atenção

Não multiplique os casos: o usuário escolhe 3, ou 4, ou 5 toques, e não os três ao mesmo tempo. Multiplicar leva à alternativa C.

Conclusão

O total de códigos é a soma dos códigos de 3, 4 e 5 toques. Portanto, a alternativa correta é a B.

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