Matemática · caderno azul

Questão 164 do ENEM 2020

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2020:

Marcar para revisar

Em um ano, uma prefeitura apresentou o relatório de gastos públicos realizados pelo município. O documento mostra que foram gastos 72 mil reais no mês de janeiro (mês 1), que o maior gasto mensal ocorreu no mês de agosto (mês 8) e que a prefeitura gastou 105 mil reais no mês de dezembro (mês 12). A curva que modela esses gastos é a parábola $y = T (x)$ , com $x$ sendo o número correspondente ao mês e $T (x)$ , em milhar de real.

A expressão da função cujo gráfico é o da parábola descrita é

Alternativa A (correta):

T (x) = - x^{2} + 16 x + 57

Correta — vértice no mês 8 e passa por (1; 72) e (12; 105).

15,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

T (x) = - \frac{11}{16} x^{2} + 11 x + 72

Incorreta — conta o mês 1 como x = 0: dá T(0) = 72 e T(12) = 105, mas T(1) ≈ 82,3.

27,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

T (x) = \frac{3}{5} x^{2} - \frac{24}{5} x + \frac{381}{5}

Incorreta — passa pelos dois pontos, mas abre para cima e tem vértice no mês 4.

20,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

T (x) = - x^{2} - 16 x + 87

Incorreta — dá T(1) = 70, não 72, e o vértice fica em x = −8.

17,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

T (x) = \frac{11}{16} x^{2} - \frac{11}{2} x + 72

Incorreta — abre para cima e dá T(1) ≈ 67,2, não 72.

19,1% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2020

Acerto no Brasil: 15,4%
Errada mais marcada: B, 27,6%
Nível na TRI: cerca de 860

Deixar para o fim Só 15% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2020 (INEP) · 26.421 participantes

Gabarito oficial: letra A · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Função quadrática: parábola a partir do gráfico ou de condições
Habilidade do ENEM: H19: Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.

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Questões parecidas: função quadrática: parábola a partir do gráfico ou de condições em outras provas

O que você precisa saber

• Parábola pelo vértice: $T (x) = a (x - x_{v})^{2} + k$
• Ponto mais alto: abre para baixo, $a < 0$
• O mês 1 vale $x = 1$ , não $x = 0$

Ideia da questão

A questão quer a lei da parábola que tem o ponto mais alto no mês 8 e passa pelos gastos de janeiro e dezembro. Escreva a lei pela forma do vértice, use os dois pontos para achar $a$ e $k$ e desenvolva o quadrado.

Resolução passo a passo

Passo 1 Montar a lei pelo vértice

O maior gasto ocorre no mês 8, então o vértice tem $x = 8$ e a parábola abre para baixo, com $a < 0$ .
$T (x) = a (x - 8)^{2} + k$

Passo 2 Substituir os dois pontos

Em janeiro, $x = 1$ e $T = 72$ ; em dezembro, $x = 12$ e $T = 105$ .

Atenção

O mês 1 vale $x = 1$ , não $x = 0$ : contar a partir do zero leva à alternativa B.

$\begin{aligned} a (1 - 8)^{2} + k & = 72 \\ a (12 - 8)^{2} + k & = 105 \end{aligned}$

Passo 3 Resolver o sistema

As potências valem $(1 - 8)^{2} = 49$ e $(12 - 8)^{2} = 16$ . Subtraindo as duas equações, o $k$ desaparece e sobra $a$ .
$\begin{aligned} 49 a + k & = 72 \\ 16 a + k & = 105 \end{aligned}$
$\begin{aligned} (49 a + k) - (16 a + k) & = 72 - 105 \\ 33 a & = - 33 \\ a & = - 1 \end{aligned}$
Com $a = - 1$ na segunda equação, sai o valor de $k$ .

- 16 + k

= 105

+16 nos dois lados

k

= 121

Passo 4 Desenvolver a lei

Com $a = - 1$ e $k = 121$ , a lei é $T (x) = - (x - 8)^{2} + 121$ . Falta abrir o quadrado.
$\begin{aligned} T (x) & = - (x - 8)^{2} + 121 \\ = - (x^{2} - 16 x + 64) + 121 \\ = - x^{2} + 16 x - 64 + 121 \\ = - x^{2} + 16 x + 57 \end{aligned}$

Observação

Atalho de prova: $a < 0$ elimina C e E, e testar $T (1)$ nas outras só dá 72 na A.

Conclusão

A lei com o maior gasto no mês 8, 72 mil em janeiro e 105 mil em dezembro é $T (x) = - x^{2} + 16 x + 57$ . Portanto, a alternativa correta é a A.

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