Matemática · caderno azul

Questão 167 do ENEM 2017

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2017:

Marcar para revisar

Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio $r$ da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.

Figura espacial, na questão 167 do ENEM 2017

Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura $h$ , em centímetro, igual a

Alternativa A:

5 - \frac{\sqrt{91}}{2}

Incorreta — Tratou os 3 cm como diâmetro da seção (raio de 1,5 cm), o que dá OA = √91 ÷ 2.

20,1% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

10 - \sqrt{91}

Incorreta — Usou o diâmetro, 10 cm, como raio da esfera: OA = √(100 − 9) = √91.

20,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C (correta): 1

Correta — A menor calota com r = 3 cm tem OA = 4, e a altura é 5 − 4.

16,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 4

Incorreta — Parou em OA, a distância do centro ao corte, e não achou a altura h da calota.

27,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 5

Incorreta — Corta a esfera ao meio: dá estabilidade, mas deixa menos área para os doces.

15,2% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2017

Acerto no Brasil: 16,0%
Errada mais marcada: D, 27,8%
Nível na TRI: cerca de 880

Deixar para o fim Só 16% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2017 (INEP) · 4.434.517 participantes

Gabarito oficial: letra C · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Seções e cortes
Habilidade do ENEM: H12: Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.

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Questões parecidas: seções e cortes em outras provas

O que você precisa saber

• Teorema de Pitágoras: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$
• O raio é a metade do diâmetro
• A altura da calota vai do polo ao plano de corte

Ideia da questão

A questão quer o corte que deixa a maior superfície para os doces, respeitando a seção de raio mínimo de 3 cm. Corte com $r = 3$ cm, ache a distância do centro ao corte por Pitágoras e subtraia do raio da esfera.

Resolução passo a passo

Passo 1 Interpretar o pedido

Os doces ficam na superfície que sobra da esfera depois do corte. Quanto menor a calota cortada, maior essa superfície. Como a seção de corte precisa ter raio de pelo menos 3 cm, o melhor corte é o que dá exatamente $r = 3$ cm.

Passo 2 Montar o triângulo retângulo

O diâmetro é 10 cm, então o raio da esfera é 5 cm. No triângulo OAB, o ângulo em A é reto, com $O B = 5$ cm (raio da esfera) e $A B = 3$ cm (raio da seção). O cateto OA é a distância do centro ao plano de corte.

Passo 3 Aplicar o teorema de Pitágoras

A hipotenusa OB é o raio da esfera.
$\begin{aligned} O A^{2} & = 5^{2} - 3^{2} \\ = 25 - 9 \\ = 16 \\ O A & = \sqrt{16} \\ = 4 \end{aligned}$

Observação

O triângulo de lados 3, 4 e 5 é um triângulo retângulo conhecido, então OA = 4 sai sem conta.

Passo 4 Calcular a altura da calota

A altura h vai do polo da esfera até o plano de corte, então é o raio menos OA.
$\begin{aligned} h & = 5 - 4 \\ = 1 cm \end{aligned}$

Atenção

O valor de OA não é a resposta: ele mede a distância do centro ao corte. A altura h da calota é o raio menos OA.

Conclusão

O corte permitido que deixa mais área para os doces tem seção de 3 cm de raio e fica a 4 cm do centro, deixando uma calota de 1 cm. Portanto, a alternativa correta é a C.

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