Matemática · caderno azul

Questão 167 do ENEM 2014

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2014:

Marcar para revisar

Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10 mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado.

Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas.

Use 3 como valor aproximado para $π$ .

A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a

Alternativa A: 168.

Incorreta — só o trecho cilíndrico já perde 270 mm³ (3 · 9 · 10), mais que 168.

23,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: 304.

Incorreta — usou a área lateral do cilindro (2πrL) no lugar do volume.

26,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: 306.

Incorreta — usou r² no lugar de r³ no volume da esfera, o que dá 270 + 36.

23,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 378.

Incorreta — usou 4πr², a área da esfera, no lugar do volume: 270 + 108.

16,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E (correta): 514.

Correta — a pílula perde 270 mm³ no cilindro e 244 mm³ nas duas semiesferas.

9,7% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2014

Acerto no Brasil: 9,7%
Errada mais marcada: B, 26,8%
Nível na TRI: cerca de 860

Deixar para o fim Só 10% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2014 (INEP) · 5.976.639 participantes · 0,6% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra E · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Volume de cilindros · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H14: Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.

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Questões parecidas: volume de cilindros em outras provas

O que você precisa saber

• Volume do cilindro: π r² h
• Volume da esfera: 4/3 π r³ (duas semiesferas = uma esfera)
• Redução = volume antigo − volume novo

Ideia da questão

A questão quer a diferença entre os volumes da pílula com raio de 5 mm e com raio de 4 mm. Calcule o volume em cada raio, somando o cilindro e uma esfera inteira, e subtraia.

Resolução passo a passo

Passo 1 Montar o volume da pílula

A pílula é um cilindro de 10 mm de comprimento e raio $r$ mais duas semiesferas de raio $r$ , que juntas formam uma esfera. Com $π = 3$ :
$\begin{aligned} V & = 3 \cdot r^{2} \cdot 10 + \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot r^{3} \\ = 30 r^{2} + 4 r^{3} \end{aligned}$

Atenção

O volume da esfera leva $r^{3}$ : com $r^{2}$ , a redução sai 306.

Passo 2 Calcular os dois volumes

Troca-se $r$ por 5 e depois por 4.
$\begin{aligned} V (5) & = 30 \cdot 25 + 4 \cdot 125 \\ = 750 + 500 \\ = 1 250 \end{aligned}$
$\begin{aligned} V (4) & = 30 \cdot 16 + 4 \cdot 64 \\ = 480 + 256 \\ = 736 \end{aligned}$

Passo 3 Calcular a redução

A redução é o volume antigo menos o novo.
$1 250 - 736 = 514 {mm}^{3}$

Conclusão

A pílula tem 1 250 mm³ com raio de 5 mm e 736 mm³ com raio de 4 mm, o que dá uma redução de 514 mm³. Portanto, a alternativa correta é a E.

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