Matemática · caderno azul

Questão 146 do ENEM 2014

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2014:

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Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número $N$ é dado pela expressão $2^{x} \cdot 5^{y} \cdot 7^{z}$ , na qual $x$ , $y$ e $z$ são números inteiros não negativos. Sabe-se que $N$ é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.

O número de divisores de $N$ , diferentes de $N$ , é

Alternativa A:

x \cdot y \cdot z

Incorreta — N não é múltiplo de 7, então $z = 0$ e $x \cdot y \cdot z$ vale 0.

18,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

(x + 1) \cdot (y + 1)

Incorreta — $(x + 1) (y + 1)$ conta todos os divisores, inclusive o próprio N.

19,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

x \cdot y \cdot z - 1

Incorreta — com $z = 0$ vale −1, e quantidade de divisores não é negativa.

21,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

(x + 1) \cdot (y + 1) \cdot z

Incorreta — com $z = 0$ a expressão vale 0, mas N tem vários divisores.

23,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E (correta):

(x + 1) \cdot (y + 1) \cdot (z + 1) - 1

Correta — são $(x + 1) (y + 1) (z + 1)$ divisores, e se tira o próprio N.

17,1% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2014

Acerto no Brasil: 17,1%
Errada mais marcada: D, 23,5%
Nível na TRI: cerca de 990

Deixar para o fim Só 17% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2014 (INEP) · 5.976.639 participantes · 0,5% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra E · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Critérios de divisibilidade e fatoração em primos
Habilidade do ENEM: H2: Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

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Questões parecidas: critérios de divisibilidade e fatoração em primos em outras provas

O que você precisa saber

• Divisores de $2^{x} \cdot 5^{y} \cdot 7^{z}$ : $(x + 1) (y + 1) (z + 1)$
• Múltiplo de 10: $x \geq 1$ , $y \geq 1$ ; sem o fator 7: $z = 0$
• Divisor diferente de N: tira 1 da contagem

Ideia da questão

A questão quer a quantidade de divisores de N sem contar o próprio N. Use as condições do enunciado para saber o valor de $z$ , conte os divisores pelos expoentes e tire 1.

Resolução passo a passo

Passo 1 Usar as condições do enunciado

N é múltiplo de 10 = 2 · 5, então $x$ e $y$ são pelo menos 1. N não é múltiplo de 7, então o fator 7 não aparece em N e $z = 0$ .

Passo 2 Contar os divisores

Um divisor de N tem a forma $2^{a} \cdot 5^{b} \cdot 7^{c}$ , com cada expoente indo de 0 até o expoente de N. As escolhas de cada expoente se multiplicam.

Opções de cada expoente

Expoente de 2x + 1Expoente de 5y + 1Expoente de 7z + 1

$(x + 1) (y + 1) (z + 1)$

Passo 3 Tirar o próprio N

O enunciado pede os divisores diferentes de N, então se tira o próprio N da contagem.
$(x + 1) (y + 1) (z + 1) - 1$

Atenção

Não pare em $(x + 1) (y + 1)$ : com $z = 0$ essa conta inclui o próprio N, que o enunciado manda tirar.

Conclusão

N tem $(x + 1) (y + 1) (z + 1)$ divisores, e sem o próprio N sobra esse valor menos 1. Portanto, a alternativa correta é a E.

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