Matemática · caderno azul

Questão 145 do ENEM 2014

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2014:

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Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial $f$ , de grau menor que 3, para alterar as notas $x$ da prova para notas $y = f (x)$ , da seguinte maneira:

A nota zero permanece zero.
A nota 10 permanece 10.
A nota 5 passa a ser 6.

A expressão da função $y = f (x)$ a ser utilizada pelo professor é

Alternativa A (correta):

y = - \frac{1}{25} x^{2} + \frac{7}{5} x

Correta — passa pelos três pontos: $f (0) = 0$ , $f (5) = 6$ e $f (10) = 10$ .

15,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

y = - \frac{1}{10} x^{2} + 2 x

Incorreta — dá $f (5) = 7, 5$ , e não 6: serve para 0 e 10, mas falha no 5.

25,1% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

y = \frac{1}{24} x^{2} + \frac{7}{12} x

Incorreta — dá $f (5) \approx 4, 0$ : serve para 0 e 10, mas falha no 5.

18,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

y = \frac{4}{5} x + 2

Incorreta — dá $f (0) = 2$ , mas a nota zero tem de continuar zero.

23,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

y = x

Incorreta — deixa todas as notas iguais, e a nota 5 deveria virar 6.

16,7% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2014

Acerto no Brasil: 15,7%
Errada mais marcada: B, 25,1%
Nível na TRI: cerca de 750

Deixar para o fim Só 16% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2014 (INEP) · 5.976.639 participantes · 0,5% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra A · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Função quadrática: parábola a partir do gráfico ou de condições · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H23: Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.

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Questões parecidas: função quadrática: parábola a partir do gráfico ou de condições em outras provas

O que você precisa saber

• Função de grau menor que 3: $y = a x^{2} + b x + c$
• $f (0) = 0$ faz o termo livre $c$ valer 0
• Cada condição vira uma equação: troca-se x e y

Ideia da questão

A questão quer a função de grau 2 que mantém 0 em 0, 10 em 10 e leva 5 a 6. Use $f (0) = 0$ para eliminar o termo livre e monte um sistema com as outras duas condições.

Resolução passo a passo

Passo 1 Escrever a forma da função

Com grau menor que 3, $y = a x^{2} + b x + c$ . Como a nota zero continua zero, o termo livre some.
$\begin{aligned} a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c & = 0 \\ c & = 0 \end{aligned}$

Passo 2 Montar as equações

Com $y = a x^{2} + b x$ , as notas 10 e 5 dão duas equações.

100 a + 10 b

= 10

: 10 nos dois lados

10 a + b

= 1

25 a + 5 b

= 6

: 5 nos dois lados

5 a + b

= 1, 2

Passo 3 Resolver o sistema

Subtraindo a segunda equação da primeira, o $b$ desaparece.

(10 a + b) - (5 a + b)

= 1 - 1, 2

5 a

= - 0, 2

: 5 nos dois lados

a

= - 0, 04

= - \frac{1}{25}

b

= 1 - 10 a

= 1 + 0, 4

= 1, 4

= \frac{7}{5}

Passo 4 Conferir a alternativa

Com $a = - \frac{1}{25}$ e $b = \frac{7}{5}$ , a função é a da alternativa A.

Atenção

Confira os três pontos: B, C e E acertam 0 e 10 e falham em 5, e D acerta 5 e 10 e falha em 0.

Conclusão

A função que mantém as notas 0 e 10 e leva a nota 5 a 6 é $y = - \frac{1}{25} x^{2} + \frac{7}{5} x$ . Portanto, a alternativa correta é a A.

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