Matemática · caderno azul

Questão 175 do ENEM 2020 PPL

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2020:

Marcar para revisar

O governador de um estado propõe a ampliação de investimentos em segurança no transporte realizado por meio de trens. Um estudo para um projeto de lei prevê que se tenha a presença de três agentes mulheres, distribuídas entre os 6 vagões de uma composição, de forma que duas dessas agentes não estejam em vagões adjacentes, garantindo assim maior segurança aos usuários.

Disponível em: www.sisgraph.com.br. Acesso em: 29 jan. 2015 (adaptado).

A expressão que representa a quantidade de maneiras distintas das três agentes serem distribuídas nos vagões é

Alternativa A:

C_{4}^{3} + 3!

Incorreta — soma as duas etapas (4 + 6 = 10), mas escolher os vagões e ordenar as agentes se multiplicam.

14,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

C_{6}^{3}

Incorreta — escolhe 3 vagões quaisquer (20 jeitos), sem a regra dos vizinhos e sem ordenar as agentes.

25,1% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C (correta):

C_{4}^{3} \times 3!

Correta — 4 escolhas de vagões não vizinhos, vezes 6 ordens para as agentes.

27,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

A_{6}^{3}

Incorreta — é o arranjo de 6 vagões em 3 (120): aceita agentes em vagões vizinhos.

21,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

A_{4}^{3} \times 3!

Incorreta — o arranjo já ordena as agentes (24), e multiplicar por 6 ordena de novo.

11,5% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2020

Acerto no Brasil: 27,3%
Errada mais marcada: B, 25,1%
Nível na TRI: cerca de 900

Microdados do ENEM 2020 (INEP) · 62.306 participantes

Gabarito oficial: letra C · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Contagem com restrições: posições fixas, elementos juntos ou separados
Habilidade do ENEM: H2: Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

Simulado ENEM 2026 de Matemática

45 questões novas, no estilo do ENEM, com tempo de prova e nota estimada pela TRI no fim. Grátis, sem precisar de conta.

Fazer o simulado

Questões parecidas: contagem com restrições: posições fixas, elementos juntos ou separados em outras provas

O que você precisa saber

• Posições sem vizinhas: método das lacunas
• Combinação escolhe sem ordem; $3!$ ordena as agentes
• Etapas independentes se multiplicam

Ideia da questão

A questão quer o número de formas de escolher 3 vagões sem vizinhos e de colocar as 3 agentes diferentes neles. Conte primeiro as escolhas de vagões, sem ordem, e multiplique pelas ordens das agentes.

Resolução passo a passo

Passo 1 Escolher os vagões

Sobram 3 vagões sem agente. Eles formam 4 lacunas (antes, entre e depois deles), e cada lacuna recebe no máximo uma agente: escolher 3 das 4 lacunas dá os vagões sem vizinhos.

Vagões com agente

Opção	Vagões
1	1, 3, 5
2	1, 3, 6
3	1, 4, 6
4	2, 4, 6

$C_{4}^{3} = 4$

Passo 2 Ordenar as agentes

As 3 agentes são diferentes, então em cada escolha elas ocupam os 3 vagões de $3!$ maneiras.
$\begin{aligned} 3! & = 3 \cdot 2 \cdot 1 \\ = 6 \end{aligned}$

Passo 3 Multiplicar as etapas

Cada escolha de vagões combina com cada ordem das agentes, então as quantidades se multiplicam.
$\begin{aligned} C_{4}^{3} \times 3! & = 4 \times 6 \\ = 24 \end{aligned}$

Atenção

Escolher e ordenar são etapas separadas: o arranjo $A_{4}^{3}$ já inclui a ordem, e multiplicá-lo por $3!$ conta a ordem duas vezes.

Conclusão

São 4 escolhas de vagões sem vizinhos e 6 ordens para as agentes, o que dá 24 maneiras. Portanto, a alternativa correta é a C.

Desafio imediato

Uma nova questão com o mesmo raciocínio, para ver se você aprendeu.

Disponível no Métria PRO

O desafio fixa a habilidade desta questão e a sua resposta entra no seu mapa de habilidades.

Crie uma conta grátis e abra 3 desafios à sua escolha.

Criar conta grátis

Conhecer o PRO Veja um desafio de exemplo