Matemática · caderno azul

Questão 163 do ENEM 2014

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2014:

Marcar para revisar

Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido.

De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?

Alternativa A:

20 \times 8! + (3!)^{2}

Incorreta — soma parcelas, mas as ordens de ação, comédia e drama acontecem juntas e se multiplicam.

10,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B (correta):

8! \times 5! \times 3!

Correta — ordenam-se as ações ( $8!$ ), as comédias ( $5!$ ) e os dramas ( $3!$ ), e as contagens se multiplicam.

19,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

\frac{8! \times 5! \times 3!}{2^{8}}

Incorreta — divide por $2^{8}$ como se a ordem dos 2 filmes de cada aluguel já tivesse sido contada; não foi.

24,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

\frac{8! \times 5! \times 3!}{2^{2}}

Incorreta — divide por $2^{2}$ , mas nenhum filme se repete: não há contagem duplicada para desfazer.

23,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

\frac{16!}{2^{8}}

Incorreta — $16!$ solta os 16 filmes, sem respeitar que cada aluguel leva um de ação e um de outro gênero.

21,7% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2014

Acerto no Brasil: 19,4%
Errada mais marcada: C, 24,3%

Deixar para o fim Só 19% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2014 (INEP) · 5.976.639 participantes

Gabarito oficial: letra B · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Permutações simples e com repetição
Habilidade do ENEM: H2: Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

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Questões parecidas: permutações simples e com repetição em outras provas

O que você precisa saber

• Fatorial: $n!$ é o número de ordens de n itens diferentes
• Escolhas independentes: as contagens se multiplicam
• A ordem dentro do par de um aluguel não conta

Ideia da questão

A questão quer contar as sequências em que os 16 filmes podem ser vistos seguindo a estratégia. Encaixe cada filme de ação num aluguel, conte separadamente as ordens de cada gênero e multiplique.

Resolução passo a passo

Passo 1 Montar os aluguéis

Há 8 aluguéis, e cada um leva um filme de ação. Nos 5 primeiros o outro filme é de comédia, e nos 3 últimos é de drama.

Os 8 aluguéis

Aluguéis	Filmes de cada vez
1º ao 5º	ação + comédia
6º ao 8º	ação + drama

Passo 2 Ordenar os filmes de ação

Os 8 filmes de ação, todos diferentes, ocupam os 8 aluguéis, um em cada: são $8!$ ordens possíveis.

Passo 3 Ordenar comédias e dramas

As 5 comédias ocupam os 5 primeiros aluguéis, com $5!$ ordens, e os 3 dramas ocupam os 3 últimos, com $3!$ ordens.

Passo 4 Multiplicar as ordens

A ordem das ações, a das comédias e a dos dramas são escolhas independentes, então as contagens se multiplicam.
$8! \times 5! \times 3!$

Atenção

Não divida por $2^{8}$ : a ordem dos dois filmes de um mesmo aluguel nunca foi contada, então não há o que desfazer.

Conclusão

As ordens dos 8 filmes de ação, dos 5 de comédia e dos 3 de drama se combinam, e o total é o produto dessas contagens. Portanto, a alternativa correta é a B.

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