Banco de questões

Cada número que identifica uma agência bancária tem quatro dígitos: \(\mathrm{N}_1\), \(\mathrm{N}_2\), \(\mathrm{N}_3\), \(\mathrm{N}_4\) mais um dígito verificador \(\mathrm{N}_5\).

Todos esses dígitos são números naturais pertencentes ao conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Para a determinação de \(\mathrm{N}_5\), primeiramente multiplica-se ordenadamente os quatro primeiros dígitos do número da agência por 5, 4, 3 e 2, respectivamente, somam-se os resultados e obtém-se \(\mathrm{S} = 5\mathrm{N}_1 + 4\mathrm{N}_2 + 3\mathrm{N}_3 + 2\mathrm{N}_4\).

Posteriormente, encontra-se o resto da divisão de \(\mathrm{S}\) por 11, denotando por \(\mathrm{R}\) esse resto. Dessa forma, \(\mathrm{N}_5\) é a diferença \(11 - \mathrm{R}\).

Considere o número de uma agência bancária cujos quatro primeiros dígitos são 0100.

Qual é o dígito verificador \(\mathrm{N}_5\) dessa agência bancária?

Um parque tem dois circuitos de tamanhos diferentes para corridas. Um corredor treina nesse parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo 3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m. Em seguida, dando continuidade a seu treino, corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1 100 m.

No segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível.

A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos, no segundo dia, será

“1, 2, 3, GOL, 5, 6, 7, GOL, 9, 10, 11, GOL, 13, GOL, 15, GOL, 17, 18, 19, GOL, 21, 22, 23, GOL, 25, ...”

Para a Copa do Mundo de Futebol de 2014, um bar onde se reuniam amigos para assistir aos jogos criou uma brincadeira. Um dos presentes era escolhido e tinha que dizer, numa sequência em ordem crescente, os números naturais não nulos, trocando os múltiplos de 4 e os números terminados em 4 pela palavra GOL. A brincadeira acabava quando o participante errava um termo da sequência.

Um dos participantes conseguiu falar até o número 103, respeitando as regras da brincadeira.

O total de vezes em que esse participante disse a palavra GOL foi

Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número $N$ é dado pela expressão $2^x\cdot 5^y\cdot 7^z$, na qual $x$, $y$ e $z$ são números inteiros não negativos. Sabe-se que $N$ é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.

O número de divisores de $N$, diferentes de $N$, é

Nosso calendário atual é embasado no antigo calendário romano, que, por sua vez, tinha como base as fases da lua. Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias, e os demais, com exceção de fevereiro, possuem 30 dias. O dia 31 de março de certo ano ocorreu em uma terça-feira.

Nesse mesmo ano, qual dia da semana será o dia 12 de outubro?