Matemática · caderno azul

Questão 160 do ENEM 2018 PPL

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2018:

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Em certa página de um livro foi anotada uma senha. Para se descobrir qual é a página, dispõe-se da informação de que a soma dos quadrados dos três números correspondentes à página da senha, à página anterior e à página posterior é igual a um certo número $k$ que será informado posteriormente.

Denotando por $n$ o número da página da senha, qual é a expressão que relaciona $n$ e $k$ ?

Alternativa A:

3 n^{2} - 4 n = k - 2

Incorreta — usa (n − 1)² também para a posterior, e os termos −2n se somam em −4n.

Alternativa B:

3 n^{2} + 4 n = k - 2

Incorreta — usa (n + 1)² também para a anterior, e os termos +2n se somam em +4n.

Alternativa C:

3 n^{2} = k + 2

Incorreta — passa o 2 para o outro lado com o sinal errado: sai k − 2, e não k + 2.

Alternativa D (correta):

3 n^{2} = k - 2

Correta — os termos −2n e +2n se cancelam, sobra 3n² + 2 = k e, então, 3n² = k − 2.

Alternativa E:

3 n^{2} = k

Incorreta — trata (n − 1)² e (n + 1)² como n² e perde o termo 2 da soma.

Gabarito oficial: letra D · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Produtos notáveis
Habilidade do ENEM: H19: Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.

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O que você precisa saber

• Produtos notáveis: $(n - 1)^{2} = n^{2} - 2 n + 1$ e $(n + 1)^{2} = n^{2} + 2 n + 1$
• Página anterior: n − 1; página posterior: n + 1

Ideia da questão

A questão quer a expressão que liga o número n da página à soma k dos quadrados de três páginas seguidas. Escreva os quadrados de n − 1, n e n + 1, desenvolva, some e isole o termo em n².

Resolução passo a passo

Passo 1 Escrever as três páginas

A página da senha é n, a anterior é n − 1 e a posterior é n + 1.

Passo 2 Desenvolver os quadrados

A soma dos quadrados dos três números vale k.

(n - 1)^{2} + n^{2} + (n + 1)^{2}

= k

(n^{2} - 2 n + 1) + n^{2} + (n^{2} + 2 n + 1)

= k

quadrados notáveis

3 n^{2} + 2

= k

−2n e +2n se cancelam

Atenção

Não escreva (n − 1)² como n² − 1 nem (n + 1)² como n² + 1: sem os termos do meio, a conta daria 3n² = k.

Passo 3 Isolar o termo em n²

Passando o 2 para o outro lado, o sinal troca.

3 n^{2} + 2

= k

3 n^{2}

= k - 2

−2 nos dois lados

Observação

Teste com n = 5: 16 + 25 + 36 = 77, e 3 · 25 + 2 = 77.

Conclusão

A soma dos três quadrados vale 3n² + 2, e igualá-la a k dá 3n² = k − 2. Portanto, a alternativa correta é a D.

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