Matemática · caderno azul

Questão 167 do ENEM 2020 PPL

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2020:

Marcar para revisar

Pretende-se comprar uma mesa capaz de acomodar 6 pessoas, de modo que, assentadas em torno da mesa, cada pessoa disponha de, pelo menos, 60 cm de espaço livre na borda do tampo da mesa, que deverá ter a menor área possível. Na loja visitada há mesas com tampos nas formas e dimensões especificadas:

Mesa I: hexágono regular, com lados medindo 60 cm;
Mesa II: retângulo, com lados medindo 130 cm e 60 cm;
Mesa III: retângulo, com lados medindo 120 cm e 60 cm;
Mesa IV: quadrado, com lados medindo 60 cm;
Mesa V: triângulo equilátero, com lados medindo 120 cm.

A mesa que atende aos critérios especificados é a

Alternativa A: I.

Incorreta — a borda de 360 cm serve, mas a área, cerca de 9 342 cm², é a maior das que servem.

28,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: II.

Incorreta — a borda de 380 cm serve, mas a área é de 7 800 cm², maior que a da mesa V.

17,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: III.

Incorreta — a borda de 360 cm serve, mas a área é de 7 200 cm², maior que a da mesa V.

28,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: IV.

Incorreta — tem a menor área de todas, mas só 240 cm de borda: cabem 4 pessoas, e não 6.

13,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E (correta): V.

Correta — borda de 360 cm e a menor área entre as mesas que servem.

12,2% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2020

Acerto no Brasil: 12,2%
Errada mais marcada: C, 28,5%
Nível na TRI: cerca de 830

Deixar para o fim Só 12% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2020 (INEP) · 62.306 participantes

Gabarito oficial: letra E · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Áreas de triângulos e quadriláteros, incluindo malha e decomposição · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H9: Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

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Questões parecidas: áreas de triângulos e quadriláteros, incluindo malha e decomposição em outras provas

O que você precisa saber

• Perímetro mínimo = número de pessoas $\times$ espaço de cada uma
• Área do triângulo equilátero de lado $ℓ$ : $\frac{ℓ^{2} \sqrt{3}}{4}$
• Hexágono regular = 6 triângulos equiláteros iguais

Ideia da questão

A questão quer a mesa de menor área entre as que dão 60 cm de borda para cada uma das 6 pessoas. Elimine as de perímetro menor que o necessário e compare as áreas das que sobram.

Resolução passo a passo

Passo 1 Calcular o perímetro mínimo

Cada uma das 6 pessoas precisa de 60 cm de borda, então o tampo precisa ter, no mínimo, essa soma de perímetro.
$6 \times 60 = 360 cm$

Passo 2 Eliminar a mesa IV

O perímetro de cada tampo é a soma dos lados. A mesa IV fica abaixo dos 360 cm e sai.

Perímetro de cada mesa

Mesa	Perímetro
I	360 cm
II	380 cm
III	360 cm
IV	240 cm (não serve)
V	360 cm

Atenção

A mesa IV tem a menor área de todas, 3 600 cm², mas 240 cm de borda acomodam só 4 pessoas.

Passo 3 Calcular as áreas que sobram

Como a mesa I (hexágono) e a mesa V (triângulo) se formam com triângulos equiláteros de lado 60, calcula-se a área de um deles, com $\sqrt{3} \approx 1, 73$ .
$\begin{aligned} A & = \frac{60^{2} \sqrt{3}}{4} \\ = \frac{3 600 \sqrt{3}}{4} \\ = 900 \sqrt{3} \\ \approx 900 \cdot 1, 73 \\ \approx 1 557 \end{aligned}$
Assim, o hexágono tem 6 desses triângulos, e o triângulo de lado 120 tem 4. Os retângulos têm base vezes altura.

6 \times 1 557

\approx 9 342

mesa I

130 \times 60

= 7 800

mesa II

120 \times 60

= 7 200

mesa III

4 \times 1 557

\approx 6 228

mesa V

Observação

Sem calculadora: o triângulo de lado 120 se divide em 4 triângulos de lado 60, e o hexágono, em 6, então a mesa V tem área menor que a I.

Passo 4 Escolher a menor área

Entre as quatro mesas que servem, a menor área é a da mesa V, com cerca de 6 228 cm².

Conclusão

As mesas I, II, III e V têm pelo menos 360 cm de borda, e a de menor área entre elas é a triangular, com cerca de 6 228 cm². Portanto, a alternativa correta é a E.

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