Matemática · caderno azul

Questão 150 do ENEM 2016 PPL

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2016:

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No projeto de arborização de uma praça está prevista a construção de um canteiro circular. Esse canteiro será constituído de uma área central e de uma faixa circular ao seu redor, conforme ilustra a figura.

Figura geométrica, na questão 150 do ENEM 2016 PPL

Deseja-se que a área central seja igual à área da faixa circular sombreada.

A relação entre os raios do canteiro ( $R$ ) e da área central ( $r$ ) deverá ser

Alternativa A:

R = 2 r

Incorreta — Achou que dobrar a área pede dobrar o raio, mas com R = 2r a faixa fica com o triplo da área central.

Alternativa B (correta):

R = r \sqrt{2}

Correta — πR² − πr² = πr² leva a R² = 2r², ou seja, R = r√2.

Alternativa C:

R = \frac{r^{2} + 2 r}{2}

Incorreta — Não vem da igualdade das áreas: com r = 3 dá R = 7,5, e a faixa tem 47,25π, bem mais que 9π.

Alternativa D:

R = r^{2} + 2 r

Incorreta — Com r = 3 dá R = 15, e a faixa tem 216π, muito mais que a área central de 9π.

Alternativa E:

R = \frac{3}{2} r

Incorreta — Com r = 3 dá R = 4,5, e a faixa tem 11,25π, mais que os 9π do centro.

Gabarito oficial: letra B · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Áreas de círculo, setor e coroa
Habilidade (classificação da Métria): H7: Identificar características de figuras planas ou espaciais.

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Questões parecidas: áreas de círculo, setor e coroa em outras provas

O que você precisa saber

• Área do círculo: πr²
• Área da faixa circular: πR² − πr²
• Isolar R² em uma igualdade e extrair a raiz

Ideia da questão

A questão quer a relação entre R e r que deixa a faixa com a mesma área do círculo central. Escreva a área da faixa como diferença de dois círculos, iguale-a à área central e isole R.

Resolução passo a passo

Passo 1 Montar a igualdade das áreas

A área central é $π r^{2}$ , e a área da faixa é a do círculo grande menos a do círculo central. As duas áreas devem ser iguais.
$π R^{2} - π r^{2} = π r^{2}$

Atenção

Dobrar a área não dobra o raio: com R = 2r, a área do canteiro seria quatro vezes a central, e a faixa teria o triplo dela.

Passo 2 Isolar R ao quadrado

O π aparece em todos os termos e sai; depois, soma-se $r^{2}$ aos dois lados.

π R^{2} - π r^{2}

= π r^{2}

R^{2} - r^{2}

= r^{2}

: π nos dois lados

R^{2}

= 2 r^{2}

+ r² nos dois lados

Passo 3 Tirar a raiz quadrada

Como R é uma medida positiva, basta extrair a raiz dos dois lados.
$\begin{aligned} R & = \sqrt{2 r^{2}} \\ = r \sqrt{2} \end{aligned}$

Conclusão

Para a faixa ter a mesma área do círculo central, o raio do canteiro deve ser $\sqrt{2}$ vezes o raio central. Portanto, a alternativa correta é a B.

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