Matemática · caderno azul

Questão 161 do ENEM 2023 PPL

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2023:

Marcar para revisar

Um reservatório que abastece uma região urbana está com uma quantidade $V$ de água. Previsões meteorológicas indicam que a região passará por uma escassez de chuva e, por isso, as autoridades locais determinaram a realização de várias medições do volume de água nesse reservatório para efeito de monitoramento.

A primeira medição indicou que o volume de água reduziu-se à metade; a segunda indicou a retirada da terça parte do que restou; a terceira, a retirada da quarta parte do que restou; a quarta, a retirada da quinta parte do que restou e assim sucessivamente nas demais medições, mantendo o seguinte padrão de retirada: na $n$ -ésima medição, a retirada da $(n + 1)$ -ésima parte do que restou.

Considere que não houve reabastecimento de água no reservatório no período em que foram feitas as medições.

Mantendo esse padrão de retirada, as quantidades de água restantes no reservatório referentes às 7ª, 8ª e 9ª medições são iguais a, respectivamente,

Alternativa A:

\frac{7}{8} V

\frac{8}{9} V

\frac{9}{10} V

Incorreta — usa só o último fator (7/8 na 7ª medição), sem multiplicar os anteriores.

26,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

\frac{6}{7} V

\frac{7}{8} V

\frac{8}{9} V

Incorreta — 6/7 é só o fator da 6ª medição, e ainda sem acumular.

19,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

\frac{6}{8} V

\frac{7}{9} V

\frac{8}{10} V

Incorreta — 6/8 de V é 0,75 V, mas depois da 3ª medição já resta só 1/4 de V.

17,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

\frac{1}{7} V

\frac{1}{8} V

\frac{1}{9} V

Incorreta — erra o padrão: a 1ª medição deixa 1/2, então a 7ª deixa 1/8, e não 1/7.

19,1% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E (correta):

\frac{1}{8} V

\frac{1}{9} V

\frac{1}{10} V

Correta — os fatores se cancelam e sobra 1/8, 1/9 e 1/10 de V nas medições 7, 8 e 9.

17,1% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2023

Acerto no Brasil: 17,1%
Errada mais marcada: A, 26,5%
Nível na TRI: cerca de 770

Deixar para o fim Só 17% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2023 (INEP) · 5.204 participantes

Gabarito oficial: letra E · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Multiplicação e divisão de frações; fração de uma quantidade · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H2: Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

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Questões parecidas: multiplicação e divisão de frações; fração de uma quantidade em outras provas

O que você precisa saber

• Retirar $\frac{1}{3}$ do que restou deixa $\frac{2}{3}$
• Frações sucessivas se multiplicam
• Cortar o que se repete em cima e embaixo

Ideia da questão

A questão quer a fração de V que sobra depois das medições 7, 8 e 9. Escreva o fator de cada medição, multiplique todos até a medição pedida e corte os números que se repetem em cima e embaixo.

Resolução passo a passo

Passo 1 Escrever os fatores

Retirar a metade deixa 1/2; retirar a terça parte do que restou deixa 2/3; retirar a quarta parte deixa 3/4.
$\begin{aligned} V_{1} & = V \cdot \frac{1}{2} \\ V_{2} & = V_{1} \cdot \frac{2}{3} \\ V_{3} & = V_{2} \cdot \frac{3}{4} \end{aligned}$

Passo 2 Multiplicar até a 7ª medição

Cada medição age sobre o que restou, então os fatores se multiplicam, e cada numerador corta com o denominador anterior.
$\begin{aligned} V_{7} & = V \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{8} \\ = V \cdot \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} \\ = \frac{1}{8} V \end{aligned}$

Atenção

Os fatores se acumulam: 7/8 é só o fator da 7ª medição, e não o que sobra de V (alternativa A).

Passo 3 Estender até a 9ª medição

Cada nova medição multiplica o resultado anterior por mais um fator.
$\begin{aligned} V_{8} & = \frac{1 \cdot 8}{8 \cdot 9} V \\ = \frac{1}{9} V \\ V_{9} & = \frac{1 \cdot 9}{9 \cdot 10} V \\ = \frac{1}{10} V \end{aligned}$

Observação

Atalho: depois da 1ª, 2ª e 3ª medições sobram $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ e $\frac{1}{4}$ de V; depois da n-ésima sobra $\frac{1}{n + 1}$ .

Conclusão

Depois da n-ésima medição sobra $\frac{1}{n + 1}$ de V, o que dá $\frac{1}{8} V$ , $\frac{1}{9} V$ e $\frac{1}{10} V$ nas medições 7, 8 e 9. Portanto, a alternativa correta é a E.

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