Matemática
Questão 178 do ENEM 2011 PPL
Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em
Marcar para revisarUm caminhão precisa recolher o lixo das ruas de um certo bairro. Por questões econômicas e ambientais, a empresa IMJ, responsável pela coleta, planeja as rotas de recolhimento, de modo que o caminhão percorra a menor distância possível, passando em cada rua exatamente uma vez, entrando e saindo de cada ponto. Quando isso não é possível, busca-se repetir o menor número possível de ruas na rota. Na figura, temos um esquema no qual os pontos representam esquinas, e as linhas representam as ruas.
Considere que cada rua mede 150 m de comprimento e que a rota do caminhão comece e termine no ponto A, passando por todas as ruas do esquema.
A empresa conseguiu encontrar a melhor rota de recolhimento de lixo, na qual o caminhão percorre uma distância igual a
Incorreta — 16 ruas é menos que as 17 do esquema: toda rua precisa ser percorrida ao menos uma vez.
Incorreta — Conta só as 17 ruas, sem repetir nenhuma, mas há dois pontos com número ímpar de ruas.
Correta — 17 ruas mais a que liga os dois pontos ímpares, repetida: 18 ruas de 150 m.
Incorreta — Repete duas ruas, uma para cada ponto ímpar, quando basta repetir a que liga os dois.
Incorreta — 22 ruas repetiria 5, bem mais que a única rua necessária.
Sobre esta questão
- Habilidade do ENEM
- H9: Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
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O que você precisa saber
• Grau de um ponto: quantas ruas chegam nele
• Voltar ao início sem repetir rua exige todos os graus pares
Ideia da questão
A questão quer a menor rota que passa por todas as ruas e volta ao ponto A. Ache os pontos com número ímpar de ruas e repita o menor número de ruas que torne todos pares.
Resolução passo a passo
Somando as ruas que chegam a cada ponto, cada rua é contada duas vezes, uma em cada ponta. Chame de H o ponto do centro e de B o canto de cima, à esquerda, do quadrado.
Ruas que chegam a cada ponto
| Ponto | Ruas |
|---|---|
| A (topo) | 2 |
| H (centro) | 7 |
| Meio, à esquerda | 4 |
| Meio, à direita | 2 |
| B (canto do quadrado) | 5 |
| Canto de cima, à direita, do quadrado | 4 |
| Os outros 5 pontos | 2 cada |
Para entrar e sair de cada ponto sem repetir rua, o número de ruas em cada ponto tem de ser par. Só H (7 ruas) e B (5 ruas) têm número ímpar, então algum trecho precisa ser repetido.
H e B são vizinhos: há uma rua ligando os dois. Repeti-la acrescenta uma rua em cada um dos dois pontos, e todos ficam pares.
Percorrer só as 17 ruas, o que dá 2 550 m, não fecha a rota: H e B têm número ímpar de ruas.
O caminhão passa por
Conclusão
O caminhão percorre as 17 ruas e repete a que liga os dois pontos de grau ímpar, num total de 18 ruas de 150 m. Portanto, a alternativa correta é a C.
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