Matemática

Questão 143 do ENEM 2011 PPL

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

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Um programador visual deseja modificar uma imagem, aumentando seu comprimento e mantendo sua largura. As figuras 1 e 2 representam, respectivamente, a imagem original e a transformada pela duplicação do comprimento.

Figura no plano cartesiano, na questão 143 do ENEM 2011 PPL

Figura 1 Figura 2

Para modelar todas as possibilidades de transformação no comprimento dessa imagem, o programador precisa descobrir os padrões de todas as retas que contêm os segmentos que contornam os olhos, o nariz e a boca e, em seguida, elaborar o programa.

No exemplo anterior, o segmento $A_{1} B_{1}$ da figura 1, contido na reta $r_{1}$ , transformou-se no segmento $A_{2} B_{2}$ da figura 2, contido na reta $r_{2}$ .

Suponha que, mantendo constante a largura da imagem, seu comprimento seja multiplicado por $n$ , sendo $n$ um número inteiro e positivo, e que, dessa forma, a reta $r_{1}$ sofra as mesmas transformações. Nessas condições, o segmento $A_{n} B_{n}$ estará contido na reta $r_{n}$ .

A equação algébrica que descreve $r_{n}$ , no plano cartesiano, é

Alternativa A (correta):

x + n y = 3 n

Correta — passa por $(n, 2)$ e $(2 n, 1)$ , pois só o $x$ é multiplicado por $n$ .

Alternativa B:

x - n y = - n

Incorreta — passa por $A_{n}$ , mas a inclinação é positiva e $B_{n}$ fica fora da reta.

Alternativa C:

x - n y = 3 n

Incorreta — a inclinação é positiva: em $A_{n}$ , $n - 2 n = - n$ , e não $3 n$ .

Alternativa D:

n x + n y = 3 n

Incorreta — equivale a $x + y = 3$ , a reta $r_{1}$ sem esticar.

Alternativa E:

n x + 2 n y = 6 n

Incorreta — equivale a $x + 2 y = 6$ , a reta $r_{2}$ , que só vale para $n = 2$ .

Gabarito oficial: letra A · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Equação da reta no plano
Habilidade do ENEM: H19: Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.

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Questões parecidas: equação da reta no plano em outras provas

O que você precisa saber

• Equação da reta por dois pontos: inclinação $m = \frac{Δ y}{Δ x}$
• Esticar na horizontal multiplica só o $x$ por $n$

Ideia da questão

A questão quer a reta que contém o contorno depois que o comprimento da imagem é multiplicado por n. Leia os dois pontos de r1, multiplique o x deles por n e monte a equação pelos pontos novos.

Resolução passo a passo

Passo 1 Ler os pontos

A reta $r_{1}$ passa por $A_{1}$ e $B_{1}$ , que ficam sobre a grade: $A_{1} = (1, 2)$ e $B_{1} = (2, 1)$ .

Passo 2 Esticar os pontos

O comprimento é horizontal: as abscissas ficam multiplicadas por $n$ , e as ordenadas não mudam.
$\begin{aligned} A_{n} & = (n, 2) \\ B_{n} & = (2 n, 1) \end{aligned}$

Passo 3 Calcular a inclinação

A inclinação sai da variação de $y$ dividida pela variação de $x$ , entre os dois pontos novos.
$\begin{aligned} m & = \frac{1 - 2}{2 n - n} \\ = - \frac{1}{n} \end{aligned}$

Atenção

A reta desce da esquerda para a direita: a inclinação é negativa, e $x$ e $y$ ficam com o mesmo sinal na equação.

Passo 4 Montar a equação da reta

A reta passa por $A_{n}$ com essa inclinação.

y - 2

= - \frac{1}{n} (x - n)

n y - 2 n

= - (x - n)

× n nos dois lados

n y - 2 n

= - x + n

x + n y

= n + 2 n

+ x + 2n nos dois lados

x + n y

= 3 n

Observação

Teste com $n = 2$ (figura 2): $A_{2} = (2, 2)$ e $B_{2} = (4, 1)$ satisfazem $x + 2 y = 6$ .

Conclusão

Com o comprimento multiplicado por n, a reta passa por (n, 2) e (2n, 1) e tem equação x + ny = 3n. Portanto, a alternativa correta é a A.

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