Questão 156 do ENEM 2025 PPL

Resolução passo a passo

A senha começa por D, então só as 7 letras restantes se permutam: E, T, E, T, I, V, E.

Nessas 7 letras, o E aparece 3 vezes e o T aparece 2 vezes; o I e o V aparecem uma vez cada.

Em uma permutação com repetição, divide-se 7! pelo fatorial de cada letra repetida.
$$\begin{array}{rl}& \phantom{=}\frac{7!}{3!\cdot 2!}\\ & =\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot \cancel{3!}}{\cancel{3!}\cdot 2}\\ & =7\cdot 6\cdot 5\cdot 2\\ & =42\cdot 10\\ & =420\end{array}$$

Paulo tenta 4 senhas diferentes, então são 4 casos favoráveis entre as 420 possíveis.
$$\frac{4^{\mathbf{:}\mathbf{4}}}{{420}_{\mathbf{:}\mathbf{4}}}\phantom{{}^{\mathbf{:}\mathbf{4}}}=\boxed{{\displaystyle \frac{1}{105}}}$$