Matemática · caderno azul

Questão 160 do ENEM 2023

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2023:

Marcar para revisar

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:

algarismos de 0 a 9;
26 letras minúsculas do alfabeto;
26 letras maiúsculas do alfabeto;
6 caracteres especiais !, @, #, $$$ , *, &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:

tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;
tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;
tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.

Considere $p_{1}$ , $p_{2}$ e $p_{3}$ as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.

Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

Alternativa A (correta): tipo I, pois

p_{1} < p_{2} < p_{3}

Correta — o tipo I tem cerca de 19,5 milhões de senhas, mais que os outros: p₁ é a menor.

21,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.

Incorreta — o tipo é o certo, mas o motivo não: com menos caracteres haveria menos senhas.

13,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: tipo II, pois tem maior quantidade de letras.

Incorreta — o tipo II tem 7 956 000 senhas, menos que as 19,5 milhões do tipo I.

16,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: tipo III, pois

p_{3} < p_{2} < p_{1}

Incorreta — a ordem é a inversa: o tipo III tem 7 160 400 senhas, o menor total.

20,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Incorreta — o tipo III tem mais caracteres, mas cada posição tem poucas opções e o total é o menor.

26,6% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2023

Acerto no Brasil: 21,5%
Errada mais marcada: E, 26,6%
Nível na TRI: cerca de 810

Microdados do ENEM 2023 (INEP) · 2.681.253 participantes · 1,1% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra A · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Princípio Fundamental da Contagem, incluindo senhas, placas e contagem por tabela
Habilidade do ENEM: H29: Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.

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Questões parecidas: princípio fundamental da contagem, incluindo senhas, placas e contagem por tabela em outras provas

O que você precisa saber

• Princípio multiplicativo sem repetição
• Probabilidade: 1 ÷ total de casos

Ideia da questão

A questão quer o tipo de senha mais difícil de adivinhar. Conte as senhas possíveis de cada tipo: quanto mais senhas, menor a chance de acertar na primeira tentativa.

Resolução passo a passo

Passo 1 Contar os caracteres

São $10 + 26 + 26 + 6 = 68$ caracteres, 52 deles letras.

Passo 2 Contar as senhas

Tipo I: $68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 = 19 545 240$ .
Tipo II: $52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 10 \cdot 6 = 7 956 000$ .
Tipo III: $52 \cdot 51 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 5 = 7 160 400$ .

Atenção

Não julgue pelo tamanho: o tipo III é o mais longo, mas tem poucas opções em cada posição.

Passo 3 Comparar as probabilidades

A probabilidade é 1 dividido pelo total: quanto mais senhas, menor ela é. Então $p_{1} < p_{2} < p_{3}$ .

Conclusão

O tipo I tem o maior número de senhas possíveis, por isso a menor chance de ser descoberto: p₁ < p₂ < p₃. Portanto, a alternativa correta é a A.

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