Matemática · caderno azul

Questão 157 do ENEM 2021 PPL

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2021:

Marcar para revisar

Um diretor esportivo organiza um campeonato no qual haverá disputa de times em turno e returno, isto é, cada time jogará duas vezes com todos os outros, totalizando 380 partidas a serem disputadas.

A quantidade de times ( $x$ ) que faz parte desse campeonato pode ser calculada pela equação

Alternativa A:

x = 380 - x^{2}

Incorreta — É o mesmo que x² + x = 380: soma os x jogos contra si mesmo em vez de tirá-los.

17,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B (correta):

x^{2} - x = 380

Correta — são x(x − 1)/2 pares de times, cada par jogando duas vezes: x(x − 1) partidas.

15,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

x^{2} = 380

Incorreta — O x² conta cada time jogando contra si mesmo; com 20 times dá 400, não 380.

24,1% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

2 x - x = 380

Incorreta — 2x − x se reduz a x e não conta os confrontos entre todos os pares de times.

16,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

2 x = 380

Incorreta — 2x é só duas partidas por time; com 20 times dá 40, longe das 380.

26,2% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2021

Acerto no Brasil: 15,7%
Errada mais marcada: E, 26,2%
Nível na TRI: cerca de 760

Deixar para o fim Só 16% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2021 (INEP) · 66.705 participantes

Gabarito oficial: letra B · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Arranjos
Habilidade do ENEM: H19: Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.

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Questões parecidas: arranjos em outras provas

O que você precisa saber

• Cada time joga com os outros x − 1 times
• Turno e returno: cada par se enfrenta 2 vezes
• Propriedade distributiva: x(x − 1) = x² − x

Ideia da questão

A questão quer a equação que dá as 380 partidas em função do número de times. Conte as partidas de cada time contra os outros, some todos os times e lembre que cada jogo foi contado duas vezes.

Resolução passo a passo

Passo 1 Contar partidas de um time

Um time enfrenta os outros $x - 1$ times, duas vezes cada um (turno e returno). Ele joga $2 (x - 1)$ partidas.

Passo 2 Somar times sem repetir jogos

Somando os $x$ times, cada partida entra duas vezes na conta, uma para cada time envolvido. Por isso o total é dividido por 2.
$\begin{aligned} \frac{x \cdot 2 (x - 1)}{2} \\ = x (x - 1) \\ = x^{2} - x \end{aligned}$

Atenção

Um time não joga contra si mesmo: $x \cdot x$ conta $x$ partidas que não existem.

Passo 3 Igualar ao total de partidas

O total é de 380 partidas, então a equação é $x^{2} - x = 380$ . Com 20 times, $20 \times 19 = 380$ , e a equação confere.

Conclusão

O número de times satisfaz x(x − 1) = 380, que é x² − x = 380. Portanto, a alternativa correta é a B.

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