Questão 154 do ENEM 2021 PPL

Resolução passo a passo

Ao maior ângulo opõe-se o maior lado. Como $\hat{C}<\hat{A}<\hat{B}$, os lados opostos seguem a mesma ordem.
$$\begin{array}{rl}AB& <BC<AC\\ 12& <14<18\end{array}$$

Na Figura 2, D está sobre o lado AB e E está sobre o lado BC, e o canto B foi dobrado para cima de AC. O trecho dobrado mantém o comprimento, então $AD+DB=AB$ e $BE+EC=BC$.

No triângulo original, DE é paralela a AC, então o ângulo BDE é igual ao ângulo A (correspondentes), e a dobra mantém esse valor. Na Figura 2, o ângulo EDB é alterno interno de DBA, pois DE é paralela a AC, então DBA também vale A. O triângulo ADB tem dois ângulos iguais a A, então é isósceles e $DB=AD$. O mesmo vale em EBC, com o ângulo C, e $BE=EC$.

Como $AD=DB$ e $AD+DB=12$, o segmento DB é metade de 12. Como $BE=EC$ e $BE+EC=14$, cada um é metade de 14.
$$\begin{array}{rl}2\cdot DB& =12\\ DB& =6\\ 2\cdot BE& =14\\ BE& =7\end{array}$$

Os segmentos DB, BE e EC medem 6, 7 e 7.
$$\begin{array}{rl}& \phantom{=}6+7+7\\ & =20\end{array}$$