Banco de questões

Pretende-se utilizar uma bomba de combustível para abastecer, simultaneamente, duas aeronaves (${\mathrm{A}}_1$ e ${\mathrm{A}}_2$), usando para isso vazões ${\sigma }_1>0$ e ${\sigma }_2>0$, respectivamente. A aeronave ${\mathrm{A}}_2$ tem um volume de 100 litros de combustível antes do início do abastecimento, mas ${\mathrm{A}}_1$ está sem combustível. Portanto, passados $t$ segundos a partir do início do abastecimento, os volumes de combustível nas aeronaves são dados por $V_1={\sigma }_{1}t$ e $V_2={\sigma }_{2}t+100$. A vazão ${\sigma }_1$ é ajustável, mas a vazão ${\sigma }_2$ deve ser mantida a um valor fixo de 2 litros por segundo, conforme especificado pelo fabricante de ${\mathrm{A}}_2$. O abastecimento das duas aeronaves se inicia no mesmo instante, e o operador da bomba foi orientado para programá-la de modo que ${\mathrm{A}}_1$ e ${\mathrm{A}}_2$ tenham o mesmo volume $V_{\mathrm{T}}$ de combustível após 10 minutos de abastecimento.

Após ser ajustada, a vazão ${\sigma }_1$, em termos do volume $V_{\mathrm{T}}$, é expressa por

A transformação entre os tipos de energia cinética (\(E_c\)) e energia potencial (\(E_p\)), em sistemas conservativos, é regida pela lei que afirma que a energia mecânica, dada pela soma \(E_c + E_p\), é constante ao longo do tempo. Assuma que, em um sistema conservativo, a energia mecânica é de 12 kJ (quilojoule), sendo observado que a energia cinética \(E_c\) (em quilojoule), dada em função do tempo \(t\) (em hora), apresentou o comportamento descrito no gráfico.

Pretende-se avaliar, no período de 0 a 8 horas, qual é o maior valor possível de ser atingido pela energia potencial \(E_p\) nesse sistema conservativo.

O valor máximo da energia potencial, em quilojoule, é igual a

Uma indústria planeja produzir caixa-d’água, em formato cilíndrico, com 1 m de altura, capaz de armazenar 0,4 m³ de água.

A medida do raio da base dessa caixa-d’água, em metro, deve ser

Um vidraceiro precisa construir tampos de vidro com formatos diferentes, porém com medidas de áreas iguais. Para isso, pede a um amigo que o ajude a determinar uma fórmula para o cálculo do raio $R$ de um tampo de vidro circular com área equivalente à de um tampo de vidro quadrado de lado $L$.

A fórmula correta é

O quadro apresenta os dados da pescaria de uma espécie de peixe realizada ao final de um dia de pesca, em lagos diferentes.

Considere que a medida do esforço de pesca (\(E\)) seja dada pela função \(E = 2 \cdot 10^{-7} \cdot B \cdot H\). A captura (quantidade pescada \(C\)) e a população de peixes \(P(L)\) dessa espécie no lago \(L\), no início desse dia de pescaria, relacionam-se pela fórmula \(C = E \cdot P(L)\).

Em qual lago a população de peixes dessa espécie era maior no início do dia?

De forma geral, os pneus radiais trazem em sua lateral uma marcação do tipo $abc$/$deRfg$, como 185/65R15. Essa marcação identifica as medidas do pneu da seguinte forma:

• $abc$ é a medida da largura do pneu, em milímetro;
• $de$ é igual ao produto de 100 pela razão entre a medida da altura (em milímetro) e a medida da largura do pneu (em milímetro);
• $R$ significa radial;
• $fg$ é a medida do diâmetro interno do pneu, em polegada.

A figura ilustra as variáveis relacionadas com esses dados.

O proprietário de um veículo precisa trocar os pneus de seu carro e, ao chegar a uma loja, é informado por um vendedor que há somente pneus com os seguintes códigos: 175/65R15, 175/75R15, 175/80R15, 185/60R15 e 205/55R15. Analisando, juntamente com o vendedor, as opções de pneus disponíveis, concluem que o pneu mais adequado para seu veículo é o que tem a menor altura.

Desta forma, o proprietário do veículo deverá comprar o pneu com a marcação

A temperatura $T$ de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento ($t=0$) e varia de acordo com a expressão $T(t)=-\frac{t^2}{4}+400$, com $t$ em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39 °C.

Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como $M_w$), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. $M_w$ e $M_0$ se relacionam pela fórmula:

Onde $M_0$ é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina·cm.

O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude $M_w=7,3$.

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico $M_0$ do terremoto de Kobe (em dina·cm)?

O Índice de Massa Corporal (IMC) é largamente utilizado há cerca de 200 anos, mas esse cálculo representa muito mais a corpulência que a adiposidade, uma vez que indivíduos musculosos e obesos podem apresentar o mesmo IMC. Uma nova pesquisa aponta o Índice de Adiposidade Corporal (IAC) como uma alternativa mais fidedigna para quantificar a gordura corporal, utilizando a medida do quadril e a altura. A figura mostra como calcular essas medidas, sabendo-se que, em mulheres, a adiposidade normal está entre 19% e 26%.

Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 24 abr. 2011 (adaptado).

Uma jovem com IMC = 20 kg/m², 100 cm de circunferência dos quadris e 60 kg de massa corpórea resolveu averiguar seu IAC. Para se enquadrar aos níveis de normalidade de gordura corporal, a atitude adequada que essa jovem deve ter diante da nova medida é

(Use \(\sqrt{3} = 1{,}7\) e \(\sqrt{1{,}7} = 1{,}3\) )

Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são:

ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, nº 1, 2002 (adaptado).

Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m², então ela possui RIP igual a