Matemática · caderno azul

Questão 160 do ENEM 2019 PPL

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2019:

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Uma equipe de cientistas decidiu iniciar uma cultura com exemplares de uma bactéria, em uma lâmina, a fim de determinar o comportamento dessa população. Após alguns dias, os cientistas verificaram os seguintes fatos:

a cultura cresceu e ocupou uma área com o formato de um círculo;
o raio do círculo formado pela cultura de bactérias aumentou 10% a cada dia;
a concentração na cultura era de 1 000 bactérias por milímetro quadrado e não mudou significativamente com o tempo.

Considere que $r$ representa o raio do círculo no primeiro dia, $Q$ a quantidade de bactérias nessa cultura no decorrer do tempo e $d$ o número de dias transcorridos.

Qual é a expressão que representa $Q$ em função de $r$ e $d$ ?

Alternativa A:

Q = {(10^{3} (1, 1)^{d - 1} r)}^{2} π

Incorreta — elevou ao quadrado também a concentração de 1 000 bactérias; o quadrado vale só para o raio.

Alternativa B (correta):

Q = 10^{3} {((1, 1)^{d - 1} r)}^{2} π

Correta — concentração vezes a área do círculo, com o raio multiplicado por 1,1 a cada dia.

Alternativa C:

Q = 10^{3} {(1, 1 (d - 1) r)}^{2} π

Incorreta — trocou a potência de 1,1 por um fator linear, 1,1 vezes o número de aumentos.

Alternativa D:

Q = 2 \times 10^{3} (1, 1)^{d - 1} r π

Incorreta — usou 2πr, o comprimento da circunferência, no lugar da área πr², sem o quadrado do raio.

Alternativa E:

Q = 2 \times 10^{3} (1, 1 (d - 1) r) π

Incorreta — usou 2πr no lugar da área e um fator linear no lugar da potência de 1,1.

Gabarito oficial: letra B · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Exponencial: obter a lei de formação
Habilidade do ENEM: H19: Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.

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O que você precisa saber

• Aumento de 10% ao dia: o raio é multiplicado por 1,1 a cada dia
• Área do círculo: $π R^{2}$ , com o raio ao quadrado
• Quantidade = concentração × área

Ideia da questão

A questão quer o total de bactérias no dia d, que é a concentração vezes a área do círculo daquele dia. Ache o raio do dia d por uma potência de 1,1 e use a área $π R^{2}$ .

Resolução passo a passo

Passo 1 Achar raio no dia d

O raio é multiplicado por 1,1 a cada dia. No dia 1 ele vale r, no dia 2 vale $1, 1 r$ , no dia 3 vale $(1, 1)^{2} r$ . No dia d já houve $d - 1$ aumentos.
$R = (1, 1)^{d - 1} r$

Atenção

O raio cresce por potência, não por soma: multiplicar 1,1 pelo número de aumentos dá um crescimento linear, que não é o de 10% ao dia.

Passo 2 Calcular a área do círculo

A área do círculo é $π$ vezes o raio ao quadrado, e o quadrado vale para o raio inteiro.
$\begin{aligned} A & = π R^{2} \\ = π ((1, 1)^{d - 1} r)^{2} \end{aligned}$

Passo 3 Multiplicar pela concentração

Cada milímetro quadrado tem $10^{3}$ bactérias, então o total é a concentração vezes a área.
$Q = 10^{3} \cdot π ((1, 1)^{d - 1} r)^{2}$

Conclusão

O total de bactérias é a concentração de $10^{3}$ por milímetro quadrado vezes a área do círculo de raio $(1, 1)^{d - 1} r$ . Portanto, a alternativa correta é a B.

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