Matemática · caderno azul

Questão 167 do ENEM 2019 PPL

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2019:

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Em um laboratório, cientistas observaram o crescimento de uma população de bactérias submetida a uma dieta magra em fósforo, com generosas porções de arsênico. Descobriu-se que o número de bactérias dessa população, após $t$ horas de observação, poderia ser modelado pela função exponencial $N (t) = N_{0} e^{k t}$ , em que $N_{0}$ é o número de bactérias no instante do início da observação ( $t = 0$ ) e representa uma constante real maior que 1, e $k$ é uma constante real positiva.

Sabe-se que, após uma hora de observação, o número de bactérias foi triplicado.

Cinco horas após o início da observação, o número de bactérias, em relação ao número inicial dessa cultura, foi

Alternativa A:

3 N_{0}

Incorreta — Parou no que ocorre em 1 hora: o triplo vale uma vez, e passaram 5 horas.

Alternativa B:

15 N_{0}

Incorreta — Multiplicou 3 por 5 horas, mas o fator 3 age a cada hora: é potência.

Alternativa C (correta):

243 N_{0}

Correta — O fator por hora é 3 e se repete 5 vezes: 3 elevado a 5.

Alternativa D:

360 N_{0}

Incorreta — Não é potência de 3: o número é sempre $N_{0}$ vezes uma potência de 3.

Alternativa E:

729 N_{0}

Incorreta — Elevou 3 a 6: contou o instante inicial como se fosse uma hora a mais.

Gabarito oficial: letra C · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Exponencial: obter a lei de formação
Habilidade do ENEM: H21: Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

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O que você precisa saber

• Em $t = 0$ vale $N (0) = N_{0}$ , o valor inicial
• Potência de potência: $e^{5 k} = (e^{k})^{5}$

Ideia da questão

A questão quer saber quantas vezes o número inicial de bactérias foi multiplicado em 5 horas. Use o triplo em 1 hora para achar o fator de cada hora e aplique esse fator uma vez por hora.

Resolução passo a passo

Passo 1 Achar o fator por hora

Em $t = 1$ , o número triplicou, ou seja, $N (1) = 3 N_{0}$ . Substitua na função para achar $e^{k}$ .

N_{0} \cdot e^{k}

= 3 N_{0}

: N_0 nos dois lados

e^{k}

= 3

Passo 2 Calcular N em 5 horas

Em $t = 5$ , o expoente vale $5 k$ , e a propriedade das potências dá $e^{5 k} = (e^{k})^{5}$ .
$\begin{aligned} N (5) & = N_{0} \cdot e^{5 k} \\ = N_{0} \cdot (e^{k})^{5} \\ = N_{0} \cdot 3^{5} \\ = 243 N_{0} \end{aligned}$

Atenção

O fator 3 age a cada hora: 5 horas dão $3^{5}$ , e não $3 \times 5 = 15$ .

Observação

Sem calculadora: $3^{2} = 9$ , $3^{3} = 27$ , $3^{4} = 81$ e $3^{5} = 243$ .

Conclusão

O número de bactérias é multiplicado por 3 a cada hora, então em 5 horas fica 243 vezes o inicial. Portanto, a alternativa correta é a C.

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