Circunferência: tangência no ENEM
Por prof. Wanderson Barbosa · dados dos microdados do INEP · atualizado em
Tangente é a reta ou a circunferência que encosta em outra num ponto só, sem cortar. No ENEM de 2010 a 2025, foram 6 questões de tangência, em 5 das 33 provas, e o Brasil acertou 25% delas.
Em 1 minuto
- Questões de 2010 a 2025
- 6
- Provas em que caiu
- 5 de 33
- Acerto do Brasil
- 25%
- Nível mais comum
- Contexto ENEM
Provas regulares, PPL e a digital de 2020, de 2010 a 2025. Acerto: quantos participantes marcaram a letra certa, somando as questões que têm dados do INEP.
O que é
Tangente é a reta ou a circunferência que encosta em outra num ponto só, sem cortar.
O raio que vai até o ponto de contato forma 90° com a reta tangente. Entre duas circunferências tangentes, a distância dos centros é a soma dos raios (por fora) ou a diferença (por dentro). No ENEM, aparece em tubos, copos numa bandeja e peças encaixadas.
Como o ENEM cobra
Estes são os jeitos em que o assunto mais aparece na prova, cada um com uma questão real.
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Rodas que se tocam 6 questões
Circunferências tangentes entre si ou encaixadas em polígonos (inscritas e circunscritas): tubos dentro de tubos, copos numa bandeja, peças com furos.
Exemplo: ENEM 2017, questão 140 (11% acertaram)
Os erros que mais derrubam
Nas questões deste assunto, estes erros levaram muita gente à alternativa errada.
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Toma metade de um lado do triângulo como raio da circunferência.
Na questão em que ele aparece, 66% do Brasil marcou a alternativa que sai dele. Ver na ENEM 2010, questão 164
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Usa a altura do triângulo, inteira ou pela metade, como distância até o centro.
Na questão em que ele aparece, 50% do Brasil marcou a alternativa que sai dele. Ver na ENEM 2013, questão 141
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Confunde razão com variação percentual.
Na questão em que ele aparece, 24% do Brasil marcou a alternativa que sai dele. Ver na ENEM 2012, questão 137
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Ficou faltando uma parte do enunciado
Nas 3 questões em que ele aparece, 35% do Brasil marcou a alternativa que sai dele. Ver na ENEM 2013, questão 178 (65%)
Resumo de tangência
Encostar sem cortar
Uma reta tangente encosta na circunferência num ponto só, o ponto de tangência. Pense numa roda parada no chão: o chão é uma reta tangente à roda.
O raio que chega ao ponto de tangência forma 90° com a tangente. Na roda, o centro fica bem em cima do ponto de contato, a um raio do chão. Esse ângulo reto aparece em quase toda questão de tangência.
De um ponto P fora da circunferência saem duas tangentes. Os segmentos de P até os pontos de contato, PA e PB, são os segmentos tangentes, e eles têm a mesma medida. A figura é simétrica em relação à reta que passa por P e pelo centro.
Duas circunferências tangentes se encostam num ponto só, que fica na reta dos centros. Por fora, os centros ficam um de cada lado do ponto de contato: a distância entre eles é a soma dos raios. Por dentro, os centros ficam do mesmo lado: a distância é a diferença dos raios.
Para lembrar: Raio e tangente formam 90°. Os segmentos tangentes que saem do mesmo ponto são iguais. Entre os centros: soma dos raios por fora, diferença por dentro.
Exemplo resolvido
Um canteiro circular tem 20 m de raio e centro O. Um poste P fica a 29 m de O. Um caminho reto sai de P e só encosta no canteiro, no ponto T. Qual é o comprimento de PT?
O caminho é tangente ao canteiro. O raio OT forma ângulo reto com ele em T, e o triângulo OTP é retângulo.
OP fica em frente ao ângulo reto: é a hipotenusa. O raio e o caminho são os catetos.
Falta um cateto: tire do quadrado da hipotenusa o quadrado do raio e, no fim, a raiz.
Resposta: O caminho PT mede 21 m.
Na Minha Trilha, este assunto continua com explicações em três níveis, questões com dica e o ajuste para cada erro.
Perguntas sobre tangência
Quantas questões de tangência caem no ENEM?
De 2010 a 2025, foram 6 questões de tangência, em 5 das 33 provas de Matemática.
As questões de tangência são difíceis no ENEM?
O Brasil acerta 25% das questões de tangência. Na Matemática do ENEM como um todo, o acerto é de 28%: o assunto é mais difícil que a média da prova.
Qual a distância entre os centros de duas circunferências tangentes por fora?
A soma dos raios. Com raios de 3 cm e 5 cm, os centros ficam a 3 + 5 = 8 cm.
E tangentes por dentro?
A diferença dos raios: com 3 cm e 5 cm, 5 − 3 = 2 cm.
A mais difícil e a mais fácil
- Menos acertadaENEM 2017, questão 14011%
- Mais acertadaENEM 2012, questão 13743%
As 6 questões do ENEM de tangência
Todas com resolução. Da mais recente para a mais antiga; ao lado, quanto do Brasil acertou.
Antes e depois deste assunto
Para ir bem aqui, saiba antes
- Teorema de Pitágoras e aplicações
- Circunferência: ângulos, arcos e cordas
