Questão 176 - Matemática

Enunciado Oficial

Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, e João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João. O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é

Artur, com probabilidade de $\frac{2}{3}$

Incorreta — A probabilidade de Artur é diferente do valor apresentado.

João, com probabilidade de $\frac{4}{9}$

Incorreta — A probabilidade de João é diferente do valor apresentado.

Artur, com probabilidade de $\frac{91}{216}$

Incorreta — O valor apresentado é a probabilidade de João vencer.

João, com probabilidade de $\frac{91}{216}$

Incorreta — O valor apresentado é a probabilidade de João, mas Artur tem a maior probabilidade de vitória.

Artur, com probabilidade de $\frac{125}{216}$

Correta — Artur tem a maior probabilidade de vitória com este valor.

Pré-Requisitos

• Cálculo de probabilidade
• Análise combinatória (contagem de casos)
• Compreensão de eventos complementares

Ideia da Questão

A questão avalia a capacidade de calcular probabilidades em um cenário de jogo com dados. O objetivo é determinar qual jogador tem a maior chance de vitória, considerando as regras específicas de pontuação e o critério de desempate.

Resolução Passo a Passo

Passo 1 Definir espaço amostral

O espaço amostral total é o número de resultados possíveis ao lançar três dados (dois para Artur e um para João).
$$
6 \times 6 \times 6 = 216
$$

Passo 2 Pontuação dos jogadores

Definimos $A_1$ e $A_2$ como os resultados dos dados de Artur, e $J$ como o resultado do dado de João. A pontuação de Artur é o maior valor entre $A_1$ e $A_2$.
$$
A_{max} = \max(A_1, A_2)
$$

Passo 3 Condição de vitória de João

João vence se sua pontuação for maior ou igual à de Artur, ou seja, $J \ge A_{max}$. Isso implica que ambos os dados de Artur devem ser menores ou iguais ao dado de João ($A_1 \le J$ e $A_2 \le J$). Para cada valor de $J$, o número de pares $(A_1, A_2)$ que satisfazem essa condição é $J \times J = J^2$.

Passo 4 Calcular casos favoráveis para João

Vamos somar os casos em que João vence para cada possível resultado de $J$ (de 1 a 6):
Se $J = 1$: $A_{max} \le 1$ implica $A_1=1, A_2=1$. Há $1^2 = 1$ caso.
Se $J = 2$: $A_{max} \le 2$ implica $A_1, A_2 \in \{1,2\}$. Há $2^2 = 4$ casos.
Se $J = 3$: $A_{max} \le 3$ implica $A_1, A_2 \in \{1,2,3\}$. Há $3^2 = 9$ casos.
Se $J = 4$: $A_{max} \le 4$ implica $A_1, A_2 \in \{1,2,3,4\}$. Há $4^2 = 16$ casos.
Se $J = 5$: $A_{max} \le 5$ implica $A_1, A_2 \in \{1,2,3,4,5\}$. Há $5^2 = 25$ casos.
Se $J = 6$: $A_{max} \le 6$ implica $A_1, A_2 \in \{1,2,3,4,5,6\}$. Há $6^2 = 36$ casos.

Total de casos para João vencer

O número total de casos em que João vence é a soma desses valores:
$$
1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91
$$

Passo 5 Probabilidade de João vencer

A probabilidade de João vencer é a razão entre os casos favoráveis e o espaço amostral total.
$$
P(\text{João}) = \frac{91}{216}
$$

Passo 6 Probabilidade de Artur vencer

Artur vence se $A_{max} > J$. Como João vence em caso de empate, a vitória de Artur é o evento complementar à vitória de João. Portanto, a probabilidade de Artur vencer é $P(\text{Artur}) = 1 – P(\text{João})$.

Cálculo da probabilidade de Artur

$$
P(\text{Artur}) = 1 – \frac{91}{216} = \frac{216 – 91}{216} = \frac{125}{216}
$$

Passo 7 Comparar probabilidades

Comparamos as probabilidades de vitória de Artur e João.
$$
P(\text{Artur}) = \frac{125}{216}
P(\text{João}) = \frac{91}{216}
$$

💡 insight

Como $125 > 91$, Artur tem a maior probabilidade de vitória.

Conclusão Final

A probabilidade de Artur vencer é de $\frac{125}{216}$, enquanto a probabilidade de João vencer é de $\frac{91}{216}$. Portanto, Artur tem a maior probabilidade de vitória. Portanto, a alternativa correta é a E.

Gabarito Oficial: Letra E

Você entendeu a lógica? Agora é sua vez de aplicar.

Desafio Imediato

Agora é sua vez

Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 4, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, e João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João. O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é

Para resolver esta questão, precisamos calcular a probabilidade de vitória de cada jogador. O espaço amostral total é o número de resultados possíveis ao lançar três dados de 4 faces, que é $4 \times 4 \times 4 = 64$ resultados. Vamos definir A1 e A2 como os resultados dos dados de Artur, e J como o resultado do dado de João. A pontuação de Artur é o maior valor entre A1 e A2, ou seja, $A_{max} = \text{max}(A1, A2$). João vence se $J \ge A_{max}$. Vamos calcular a probabilidade de João vencer. Para cada possível resultado de J (de 1 a 4), precisamos contar quantos pares (A1, A2) satisfazem $A_{max} \le J$. Isso significa que tanto A1 quanto A2 devem ser menores ou iguais a J. O número de pares (A1, A2) que satisfazem essa condição é $J \times J = J^2$. Somando os casos favoráveis para João vencer: • Se J = 1: $A_{max} \le 1$ implica $A1=1, A2=1$. Há $1^2 = 1$ caso. • Se J = 2: $A_{max} \le 2$ implica $A1, A2 \in \{1,2\}$. Há $2^2 = 4$ casos. • Se J = 3: $A_{max} \le 3$ implica $A1, A2 \in \{1,2,3\}$. Há $3^2 = 9$ casos. • Se J = 4: $A_{max} \le 4$ implica $A1, A2 \in \{1,2,3,4\}$. Há $4^2 = 16$ casos. O número total de casos em que João vence é a soma desses valores: $1 + 4 + 9 + 16 = 30$. A probabilidade de João vencer é (P(\text{João}) = \frac{30}{64} = \frac{15}{32}). Artur vence se $A_{max} > J$. Como João vence em caso de empate, a vitória de Artur é o evento complementar à vitória de João. Portanto, a probabilidade de Artur vencer é (P(\text{Artur}) = 1 - P(\text{João})). (P(\text{Artur}) = 1 - \frac{30}{64} = \frac{64 - 30}{64} = \frac{34}{64} = \frac{17}{32}). Comparando as probabilidades: (P(\text{Artur}) = \frac{17}{32}) e (P(\text{João}) = \frac{15}{32}). Como $17 > 15$, Artur tem a maior probabilidade de vitória. A alternativa correta é a E.