Questão 175 - Matemática

Enunciado Oficial

A figura ilustra o projeto visual para confecção de uma medalha comemorativa, com a forma de um cilindro circular reto, de diâmetro 6 cm e espessura 3 mm. Ilustração da Questão A figura ABCD tem a forma de um quadrado e é a base de um prisma que atravessa toda a medalha. A região da medalha externa a esse prisma será cunhada em ouro. Pretende-se cunhar 100 dessas medalhas. Considere 3,1 como valor aproximado para π. Qual é o volume de ouro, em centímetro cúbico, necessário para a confecção dessas medalhas?

288

Incorreta — O cálculo do volume de ouro por medalha ou o total para 100 medalhas está incorreto.

297

Correta — O volume total de ouro para 100 medalhas é $297 \text{ cm}^3$.

567

Incorreta — O cálculo do volume de ouro por medalha ou o total para 100 medalhas está incorreto.

990

Incorreta — O cálculo do volume de ouro por medalha ou o total para 100 medalhas está incorreto.

1 134

Incorreta — O cálculo do volume de ouro por medalha ou o total para 100 medalhas está incorreto.

Pré-Requisitos

• Cálculo de volume de cilindro
• Cálculo de volume de prisma
• Relação entre diagonal e lado de um quadrado
• Conversão de unidades de comprimento

Ideia da Questão

A questão pede o volume total de ouro necessário para cunhar 100 medalhas com um formato específico. Para isso, calcularemos o volume de um cilindro e de um prisma quadrado, e então a diferença entre eles, aplicando conversão de unidades.

Resolução Passo a Passo

Passo 1 Identificar e converter dimensões

O diâmetro do cilindro é $6 \text{ cm}$, então o raio $R$ é $6 \div 2 = 3 \text{ cm}$.
A espessura (altura) da medalha é $3 \text{ mm}$. Convertendo para centímetros, temos $3 \text{ mm} = 0,3 \text{ cm}$.

Passo 2 Calcular volume do cilindro

A fórmula do volume do cilindro é $V_{cilindro} = \pi R^2 h$. Usando $\pi = 3,1$, $R = 3 \text{ cm}$ e $h = 0,3 \text{ cm}$:
$$
V_{cilindro} = 3,1 \times (3)^2 \times 0,3
V_{cilindro} = 3,1 \times 9 \times 0,3
V_{cilindro} = 27,9 \times 0,3
V_{cilindro} = 8,37 \text{ cm}^3
$$

Passo 3 Calcular volume do prisma quadrado

A base do prisma é um quadrado inscrito na base circular do cilindro. Isso significa que a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro do cilindro, que é $6 \text{ cm}$.
Para um quadrado de lado $L$, a diagonal $d$ é dada por $d = L\sqrt{2}$.
$$
6 = L\sqrt{2}
L = \frac{6}{\sqrt{2}}
L = \frac{6\sqrt{2}}{2}
L = 3\sqrt{2} \text{ cm}
$$
A área da base quadrada é $A_{quadrado} = L^2$.
$$
A_{quadrado} = (3\sqrt{2})^2
A_{quadrado} = 9 \times 2
A_{quadrado} = 18 \text{ cm}^2
$$
O volume do prisma é $V_{prisma} = A_{quadrado} \times h$.
$$
V_{prisma} = 18 \times 0,3
V_{prisma} = 5,4 \text{ cm}^3
$$

Passo 4 Calcular volume de ouro por medalha

O volume de ouro por medalha é a diferença entre o volume do cilindro e o volume do prisma.
$$
V_{ouro\_medalha} = V_{cilindro} – V_{prisma}
V_{ouro\_medalha} = 8,37 – 5,4
V_{ouro\_medalha} = 2,97 \text{ cm}^3
$$

Passo 5 Calcular volume total de ouro

Para 100 medalhas, o volume total de ouro necessário é:
$$
V_{total\_ouro} = 100 \times V_{ouro\_medalha}
V_{total\_ouro} = 100 \times 2,97
V_{total\_ouro} = 297 \text{ cm}^3
$$

Conclusão Final

O volume total de ouro necessário para a confecção das 100 medalhas é de $297 \text{ cm}^3$. Portanto, a alternativa correta é a B.

Gabarito Oficial: Letra B

Você entendeu a lógica? Agora é sua vez de aplicar.

Desafio Imediato

Agora é sua vez

A figura ilustra o projeto visual para confecção de uma medalha comemorativa, com a forma de um cilindro circular reto, de diâmetro 8 cm e espessura 4 mm. A figura ABCD tem a forma de um quadrado e é a base de um prisma que atravessa toda a medalha. A região da medalha externa a esse prisma será cunhada em ouro. Pretende-se cunhar 50 dessas medalhas. Considere 3,1 como valor aproximado para π. Qual é o volume de ouro, em centímetro cúbico, necessário para a confecção dessas medalhas?

Para resolver esta questão, precisamos calcular o volume da parte da medalha que será cunhada em ouro. Essa parte corresponde ao volume total do cilindro menos o volume do prisma quadrado que o atravessa. 1. Converter unidades e identificar dimensões: O diâmetro do cilindro é 8 cm, então o raio $R$ é $8 \div 2 = 4 \text{ cm}$. A espessura (altura) da medalha é 4 mm. Convertendo para centímetros, temos $4 \text{ mm} = 0,4 \text{ cm}$. 2. Calcular o volume total do cilindro: A fórmula do volume do cilindro é $V_{cilindro} = \pi R^2 h$. Usando $\pi = 3,1$, $R = 4 \text{ cm}$ e $h = 0,4 \text{ cm}$: \ V_{cilindro} = 3,1 \times (4)^2 \times 0,4 = 3,1 \times 16 \times 0,4 = 49,6 \times 0,4 = 19,84 \text{ cm}^3 \ 3. Calcular o volume do prisma quadrado: A base do prisma é um quadrado ABCD. Como o quadrado está inscrito na base circular do cilindro, a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro do cilindro, que é 8 cm. Para um quadrado de lado $L$, a diagonal $d$ é dada por $d = L\sqrt{2}$. Assim, $8 = L\sqrt{2}$. Isolando $L$: $L = 8/\sqrt{2} = (8\sqrt{2}$ / 2 = 4\sqrt{2} \text{ cm}). A área da base quadrada é $A_{quadrado} = L^2 = (4\sqrt{2}$^2 = 16 \times 2 = 32 \text{ cm}^2). O volume do prisma é $V_{prisma} = A_{quadrado} \times h = 32 \times 0,4 = 12,8 \text{ cm}^3$. 4. Calcular o volume de ouro por medalha: O volume de ouro por medalha é a diferença entre o volume do cilindro e o volume do prisma: \ V_{ouro\_medalha} = V_{cilindro} - V_{prisma} = 19,84 - 12,8 = 7,04 \text{ cm}^3 \ 5. Calcular o volume total de ouro para 50 medalhas: Como serão cunhadas 50 medalhas, o volume total de ouro necessário é: \ V_{total\_ouro} = 50 \times V_{ouro\_medalha} = 50 \times 7,04 = 352 \text{ cm}^3 \ O volume total de ouro necessário para a confecção das 50 medalhas é de $352 \text{ cm}^3$. Portanto, a alternativa correta é a A.