Questão 173 - Matemática
Um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. Ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o mais novo recebam três presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. O mais velho ganhará, entre seus presentes, ou uma bicicleta ou um celular, mas não ambos. De quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?
36
Incorreta — O valor é muito baixo, indicando um erro significativo na aplicação das combinações ou na interpretação das restrições.
53
Incorreta — O valor é muito baixo, sugerindo falha na contagem de possibilidades ou na consideração de todos os casos.
300
Correta — O valor 300 é obtido pela soma dos dois casos mutuamente exclusivos, considerando corretamente a restrição do filho mais velho e aplicando as combinações em cada etapa.
360
Incorreta — Um erro de cálculo, como considerar um número incorreto de presentes disponíveis em alguma etapa, poderia levar a este resultado.
560
Incorreta — Este valor seria obtido se a restrição para o filho mais velho fosse ignorada, tratando todos os presentes como comuns e distribuindo-os sem considerar os casos especiais.
Pré-Requisitos
• Princípio Fundamental da Contagem (ou Princípio Multiplicativo)
• Combinações Simples (C(n, k))
• Análise de casos
Ideia da Questão
A questão solicita o número de maneiras distintas de distribuir 8 presentes entre 3 filhos, com quantidades específicas e uma restrição para o filho mais velho. Para resolver, aplicaremos o Princípio Fundamental da Contagem e Combinações Simples, dividindo o problema em casos para gerenciar a restrição.
Resolução Passo a Passo
Temos 8 presentes distintos para 3 filhos: o mais velho (V), o do meio (M) e o mais novo (N).
A distribuição é:
Filho mais velho (V): 3 presentes
Filho do meio (M): 2 presentes
* Filho mais novo (N): 3 presentes
Dois presentes são especiais: uma bicicleta e um celular.
A restrição é que o filho mais velho (V) ganhará OU a bicicleta OU o celular, mas NÃO AMBOS.
Essa restrição de “OU um OU outro, mas não ambos” indica que devemos dividir a resolução em dois casos mutuamente exclusivos.
Neste caso, o filho mais velho (V) ganha a bicicleta e NÃO o celular.
Primeiro, V já tem a bicicleta. Ele precisa de mais 2 presentes.
Dos 8 presentes totais, a bicicleta já foi para V, e o celular está excluído para V. Sobram \(8 – 1 – 1 = 6\) presentes “comuns” para V escolher.
O número de maneiras para V escolher seus 2 presentes restantes é:
$$
C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
$$
Após V receber seus 3 presentes (bicicleta + 2 comuns), restam \(8 – 3 = 5\) presentes. Esses 5 presentes incluem o celular e 4 presentes comuns.
Agora, distribuímos os 5 presentes restantes para M (2 presentes) e N (3 presentes).
M escolhe 2 presentes dos 5 restantes:
$$
C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
$$
N recebe os 3 presentes restantes:
$$
C(3, 3) = 1
$$
Pelo Princípio Multiplicativo, o total de maneiras para este caso é:
$$
15 \times 10 \times 1 = 150
$$
Neste caso, o filho mais velho (V) ganha o celular e NÃO a bicicleta.
Este caso é simétrico ao Caso 1.
Primeiro, V já tem o celular. Ele precisa de mais 2 presentes.
Dos 8 presentes totais, o celular já foi para V, e a bicicleta está excluída para V. Sobram \(8 – 1 – 1 = 6\) presentes “comuns” para V escolher.
O número de maneiras para V escolher seus 2 presentes restantes é:
$$
C(6, 2) = 15
$$
Após V receber seus 3 presentes (celular + 2 comuns), restam \(8 – 3 = 5\) presentes. Esses 5 presentes incluem a bicicleta e 4 presentes comuns.
Agora, distribuímos os 5 presentes restantes para M (2 presentes) e N (3 presentes).
M escolhe 2 presentes dos 5 restantes:
$$
C(5, 2) = 10
$$
N recebe os 3 presentes restantes:
$$
C(3, 3) = 1
$$
Pelo Princípio Multiplicativo, o total de maneiras para este caso é:
$$
15 \times 10 \times 1 = 150
$$
Como os dois casos são mutuamente exclusivos, somamos os resultados de cada caso para obter o total de maneiras.
$$
150 + 150 = 300
$$
Conclusão Final
O número total de maneiras distintas de distribuir os presentes, seguindo todas as condições, é 300. Portanto, a alternativa correta é a C.
Você entendeu a lógica? Agora é sua vez de aplicar.
Agora é sua vez
QUESTÃO 173 Um pai comprou dez presentes diferentes (dentre os quais, um drone e um tablet) para dar a seus três filhos. Ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o mais novo recebam quatro presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. O mais velho ganhará, entre seus presentes, ou um drone ou um tablet, mas não ambos. De quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?