Questão 171 - Matemática
Em uma cidade, será construído um túnel que atravessa uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborados e os esquemas com as vistas frontais desses projetos são apresentados na figura. 
O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicilindro reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas. O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha. Considere 3 como aproximação para \(\pi\) e desconsidere as espessuras das muretas. O projeto a ser aprovado é
o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo \(67,5\,m^2\).
Correta — O Projeto 1 possui a menor área de seção transversal.
o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo \(121,5\,m^2\).
Incorreta — Este valor corresponde à área do Projeto 2, que é maior.
o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo \(135\,m^2\).
Incorreta — Este valor resultaria de calcular as áreas como círculos completos para o Projeto 1, sem dividir por 2.
o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo \(243\,m^2\).
Incorreta — Este valor resultaria de calcular a área como um círculo completo para o Projeto 2, sem dividir por 2.
qualquer um dos dois, pois apresentam áreas de suas seções transversais com medidas iguais.
Incorreta — As áreas dos dois projetos são diferentes, e o Projeto 1 é menor.
Pré-Requisitos
• Cálculo da área de um círculo
• Cálculo da área de um semicírculo
• Interpretação de figuras geométricas com medidas
• Comparação de valores numéricos
Ideia da Questão
A questão pede para determinar qual projeto de túnel possui a menor área de seção transversal. Para isso, é necessário calcular a área de cada semicírculo, utilizando a aproximação de \(\pi = 3\), e comparar os resultados.
Resolução Passo a Passo
A seção transversal de cada túnel tem o formato de um semicírculo. A área de um semicírculo é metade da área de um círculo, e o problema pede para usar \(3\) como aproximação para \(\pi\).
$$
A_{semicírculo} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2
A_{semicírculo} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot r^2
$$
O Projeto 1 possui dois túneis semicirculares: um para automóveis e outro para bicicletas. Precisamos calcular a área de cada um e somá-las.
O diâmetro é de \(12\,m\), então o raio é:
$$
r_1 = \frac{12}{2} = 6\,m
$$
A área deste semicírculo é:
$$
A_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (6)^2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 36 = \frac{108}{2} = 54\,m^2
$$
O diâmetro é de \(6\,m\), então o raio é:
$$
r_2 = \frac{6}{2} = 3\,m
$$
A área deste semicírculo é:
$$
A_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3)^2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 9 = \frac{27}{2} = 13,5\,m^2
$$
A área total da seção transversal do Projeto 1 é a soma das áreas dos dois túneis:
$$
A_{\text{Projeto 1}} = A_1 + A_2 = 54 + 13,5 = 67,5\,m^2
$$
O Projeto 2 possui um único túnel semicircular. O diâmetro total é a soma dos segmentos indicados na base.
O diâmetro total é:
$$
D = 3\,m + 6\,m + 6\,m + 3\,m = 18\,m
$$
Então, o raio é:
$$
r_3 = \frac{18}{2} = 9\,m
$$
A área deste semicírculo é:
$$
A_{\text{Projeto 2}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (9)^2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 81 = \frac{243}{2} = 121,5\,m^2
$$
Comparamos as áreas totais calculadas para cada projeto para determinar qual possui a menor seção transversal.
$$
A_{\text{Projeto 1}} = 67,5\,m^2
A_{\text{Projeto 2}} = 121,5\,m^2
$$
Como \(67,5\,m^2 < 121,5\,m^2\), o Projeto 1 apresenta a menor área da seção transversal.
Conclusão Final
O Projeto 1 apresenta a menor área de seção transversal, com \(67,5\,m^2\). Portanto, a alternativa correta é a A.
Você entendeu a lógica? Agora é sua vez de aplicar.
Agora é sua vez
Em uma cidade, será construído um túnel que atravessa uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborados e os esquemas com as vistas frontais desses projetos são apresentados na figura. O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicilindro reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas. O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha. Considere 3 como aproximação para \(\pi\) e desconsidere as espessuras das muretas. O projeto a ser aprovado é