Questão 153 - Matemática
Em um jogo digital, há três personagens: um herói e dois vilões. A programação é feita de tal forma que o herói sempre será atacado pelo vilão que estiver mais próximo dele. Uma das maneiras de “confundir” os vilões é movimentar o herói por trajetórias que o mantenha equidistante dos vilões, gerando indefinição entre eles e, com isso, não sendo atacado. Para a programação de uma das etapas desse jogo, o programador considerou, no plano cartesiano, o quadrado STUV como a região de movimentação dos personagens, onde V e T representam as posições fixas dos vilões, e S, a posição inicial do herói, como apresentado na figura. 
Qual é a equação da trajetória em que o herói poderá se movimentar sem ser atacado?
\(y=-3x+20\)
Correta — Esta é a equação da mediatriz do segmento que conecta os vilões T(2,4) e V(8,6).
\(y=-3x+16\)
Incorreta — A inclinação está correta, mas o termo independente está incorreto.
\(y=-3x-20\)
Incorreta — A inclinação está correta, mas o termo independente e seu sinal estão incorretos.
\(y=3x+16\)
Incorreta — A inclinação da reta está incorreta.
\(y=3x-16\)
Incorreta — A inclinação da reta e o termo independente estão incorretos.
Pré-Requisitos
• Geometria analítica: coordenadas de pontos.
• Cálculo de ponto médio de um segmento.
• Cálculo de inclinação (coeficiente angular) de uma reta.
• Equação da reta (perpendicular bissetriz).
• Propriedades de um quadrado (lados perpendiculares e de mesmo comprimento).
Ideia da Questão
A questão exige a aplicação de conceitos de geometria analítica para determinar a equação de uma trajetória. A estratégia envolve encontrar a mediatriz do segmento que conecta os vilões, após identificar suas coordenadas a partir das propriedades do quadrado.
Resolução Passo a Passo
Os vilões estão nas posições T e V. As coordenadas de V são \(V(8, 6)\) e de S são \(S(6, 2)\). Como STUV é um quadrado e S e V são vértices adjacentes, podemos usar as propriedades de vetores perpendiculares para encontrar T.
O vetor \(\vec{SV}\) é obtido subtraindo as coordenadas de S das coordenadas de V.
$$
\vec{SV} = (V_x – S_x, V_y – S_y) = (8 – 6, 6 – 2) = (2, 4)
$$
Para encontrar o ponto T, precisamos de um vetor \(\vec{ST}\) que seja perpendicular a \(\vec{SV}\) e tenha o mesmo módulo. Um vetor perpendicular a \((a, b)\) pode ser \((-b, a)\) ou \((b, -a)\). Observando a figura, o ponto T está “acima e à esquerda” de S em relação ao vetor SV, então usamos \((-4, 2)\).
As coordenadas de T são obtidas somando o vetor \(\vec{ST}\) às coordenadas de S:
$$
T = (S_x – 4, S_y + 2) = (6 – 4, 2 + 2) = (2, 4)
$$
Assim, os vilões estão em \(T(2, 4)\) e \(V(8, 6)\).
Um erro comum seria considerar S e V como vértices opostos do quadrado, o que levaria a coordenadas diferentes para T.
A trajetória do herói é a mediatriz do segmento TV. Primeiro, calculamos o ponto médio M de TV.
$$
M = \left(\frac{2 + 8}{2}, \frac{4 + 6}{2}\right) = \left(\frac{10}{2}, \frac{10}{2}\right) = (5, 5)
$$
Agora, calculamos a inclinação (coeficiente angular) do segmento TV.
$$
m_{TV} = \frac{6 – 4}{8 – 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
$$
A mediatriz é perpendicular ao segmento TV. Sua inclinação é o inverso negativo da inclinação de TV.
$$
m_{\text{mediatriz}} = -\frac{1}{m_{TV}} = -\frac{1}{1/3} = -3
$$
Não calcular a inclinação perpendicular corretamente é um erro frequente. Lembre-se que o produto das inclinações de retas perpendiculares é -1.
Usamos a equação da reta \(y – y_M = m(x – x_M)\) com o ponto \(M(5, 5)\) e a inclinação \(m = -3\).
$$
y – 5 = -3(x – 5)
$$
$$
y – 5 = -3x + 15
$$
$$
y = -3x + 15 + 5
$$
$$
y = -3x + 20
$$
Conclusão Final
A equação da trajetória em que o herói poderá se movimentar sem ser atacado é \(y = -3x + 20\). Portanto, a alternativa correta é a A.
Você entendeu a lógica? Agora é sua vez de aplicar.
Agora é sua vez
Em um jogo digital, há três personagens: um herói e dois vilões. A programação é feita de tal forma que o herói sempre será atacado pelo vilão que estiver mais próximo dele. Uma das maneiras de ‘confundir’ os vilões é movimentar o herói por trajetórias que o mantenha equidistante dos vilões, gerando indefinição entre eles e, com isso, não sendo atacado. Para a programação de uma das etapas desse jogo, o programador considerou, no plano cartesiano, o quadrado STUV como a região de movimentação dos personagens, onde V e T representam as posições fixas dos vilões, e S, a posição inicial do herói, como apresentado na figura. Qual é a equação da trajetória em que o herói poderá se movimentar sem ser atacado?