Questão 137 - Matemática
Uma fábrica utilizou uma impressora 3D para produzir o protótipo de uma peça. O protótipo tem forma de um poliedro convexo, obtido pela justaposição de dois sólidos distintos, um com a forma de um prisma hexagonal regular reto e o outro com a forma de um tronco de pirâmide hexagonal reta. A base maior do tronco de pirâmide coincide com uma das bases do prisma. Após a impressão do protótipo, ele foi encaminhado ao setor de customização para realização da pintura de sua superfície. O critério definido para realização da pintura considera que faces congruentes entre si devem ser pintadas com uma mesma cor, e faces não congruentes entre si devem apresentar cores distintas. Qual é a quantidade de cores utilizadas para pintar o protótipo?
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Incorreta — Este valor poderia surgir de uma contagem incorreta das faces ou da suposição de que todas as faces visíveis são diferentes.
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Incorreta — Este valor poderia ser obtido se as bases hexagonais fossem consideradas congruentes ou se houvesse alguma confusão na contagem.
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Incorreta — Este valor poderia ser obtido se apenas as faces laterais fossem consideradas ou se houvesse uma simplificação excessiva da congruência.
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Correta — Há quatro tipos de faces não congruentes a serem pintadas: a base hexagonal do prisma, as faces laterais retangulares do prisma, a base hexagonal menor do tronco e as faces laterais trapezoidais do tronco.
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Incorreta — Este valor é muito baixo e não considera a distinção entre as faces do prisma e do tronco.
Pré-Requisitos
• Conhecimento de sólidos geométricos (prisma hexagonal, tronco de pirâmide hexagonal)
• Identificação de faces de poliedros
• Compreensão do conceito de congruência em geometria
Ideia da Questão
A questão exige a visualização de um poliedro composto por um prisma hexagonal e um tronco de pirâmide hexagonal. O objetivo é determinar o número de cores necessárias para pintar a superfície externa, seguindo a regra de que faces congruentes recebem a mesma cor e faces não congruentes recebem cores distintas.
Resolução Passo a Passo
O protótipo é formado pela justaposição de um prisma hexagonal regular reto e um tronco de pirâmide hexagonal reta.
A base maior do tronco de pirâmide coincide com uma das bases do prisma, o que significa que essas faces estão unidas e não serão pintadas.
Um prisma hexagonal possui duas bases hexagonais e seis faces laterais retangulares.
Como uma das bases está unida ao tronco, resta \(1\) base hexagonal e \(6\) faces laterais retangulares para serem pintadas.
As \(6\) faces laterais retangulares do prisma são congruentes entre si.
Um tronco de pirâmide hexagonal possui duas bases hexagonais (uma maior e uma menor) e seis faces laterais trapezoidais.
A base maior do tronco está unida ao prisma, então resta \(1\) base hexagonal menor e \(6\) faces laterais trapezoidais para serem pintadas.
As \(6\) faces laterais trapezoidais do tronco são congruentes entre si.
As faces a serem pintadas podem ser agrupadas em quatro tipos distintos:
1. A base hexagonal do prisma.
2. As seis faces laterais retangulares do prisma.
3. A base hexagonal menor do tronco de pirâmide.
4. As seis faces laterais trapezoidais do tronco de pirâmide.
Para determinar o número de cores, verificamos a congruência entre os grupos identificados:
A base hexagonal do prisma e a base hexagonal menor do tronco de pirâmide não são congruentes, pois possuem tamanhos diferentes.
As faces laterais retangulares do prisma e as faces laterais trapezoidais do tronco de pirâmide não são congruentes, pois possuem formatos diferentes.
* As faces hexagonais (bases) e as faces laterais (retangulares ou trapezoidais) também não são congruentes entre si.
Cada grupo de faces não congruentes exige uma cor distinta.
$$
\text{Número de cores} = 1 (\text{base do prisma}) + 1 (\text{faces laterais do prisma}) + 1 (\text{base menor do tronco}) + 1 (\text{faces laterais do tronco}) = 4
$$
Portanto, são necessárias \(4\) cores.
Conclusão Final
Serão necessárias 4 cores para pintar o protótipo. Portanto, a alternativa correta é a D.