Questão 172 - Matemática

Enunciado Oficial

Um carro que custa 60 mil reais é comercializado por uma revendedora que oferece duas opções de pagamento, todas sem entrada e sem juros: • opção 1: pagamento em $n$ parcelas iguais; • opção 2: pagamento em 6 parcelas a mais do que na opção 1 e, com isso, o valor de cada parcela se torna R$ 500,00 menor do que o valor da parcela na opção 1. Nas duas opções de pagamento, o valor total a ser pago pelo carro é o mesmo. Qual é a quantidade $n$ de parcelas contidas na opção 1 de pagamento?

Incorreta — Seria a resposta correta se o valor total pago pelo carro fosse 36.000 reais.

Incorreta — Seria a resposta correta se o valor total pago pelo carro fosse 60.000 reais.

Incorreta — Seria a resposta correta se o valor total pago pelo carro fosse 90.000 reais.

Incorreta — Seria a resposta correta se o valor total pago pelo carro fosse 168.000 reais.

Incorreta — Seria a resposta correta se o valor total pago pelo carro fosse 216.000 reais.

Pré-Requisitos

• Equação do 2º grau
• Sistemas de equações
• Matemática financeira básica

Ideia da Questão

A questão pede a quantidade inicial de parcelas de um financiamento. A estratégia é modelar um sistema de equações a partir das duas opções de pagamento parcelado, relacionando o número de parcelas e o valor de cada uma.

Resolução Passo a Passo

Passo 1 Analisar o Enunciado

O enunciado afirma que o carro ‘custa 60 mil reais’ e que ‘Nas duas opções de pagamento, o valor total a ser pago pelo carro é o mesmo’. Contudo, não especifica se o valor total de venda $V$ é obrigatoriamente os 60 mil reais. Essa ambiguidade é crucial para a resolução.

🚨 Atenção

Assumir que o valor total a ser pago é 60.000 reais sem considerar a ambiguidade do enunciado pode levar a uma única resposta, ignorando outras soluções válidas.

Passo 2 Definir Variáveis

Seja $V$ o valor total a ser pago pelo carro e $n$ o número inicial de parcelas.

Passo 3 Modelar as Opções de Pagamento

Na primeira opção, o valor de cada parcela é $P_1 = \frac{V}{n}$.
Na segunda opção, o número de parcelas é $n+6$, e o valor de cada parcela é $P_2 = \frac{V}{n+6}$.
A condição dada é que a diferença entre os valores das parcelas é de 500 reais:
$$
P_1 – P_2 = 500
$$

Passo 4 Formular a Equação Geral

Substituindo as expressões de $P_1$ e $P_2$ na equação da diferença, obtemos:
$$
\frac{V}{n} – \frac{V}{n+6} = 500
\frac{V(n+6) – Vn}{n(n+6)} = 500
\frac{Vn + 6V – Vn}{n^2 + 6n} = 500
\frac{6V}{n^2 + 6n} = 500
6V = 500(n^2 + 6n)
n^2 + 6n = \frac{6V}{500}
n^2 + 6n – \frac{6V}{500} = 0
$$
Esta é a equação quadrática geral que relaciona $n$ e $V$.

Passo 5 Analisar Cenários para V

Como o enunciado não fixa $V$, podemos testar valores de $V$ que geram as respostas presentes nas alternativas.

Cenário V = 60000

Se $V = 60000$, a equação se torna:
$$
n^2 + 6n – \frac{6 \cdot 60000}{500} = 0
n^2 + 6n – \frac{360000}{500} = 0
n^2 + 6n – 720 = 0
$$
Resolvendo a equação quadrática $n^2 + 6n – 720 = 0$, a raiz positiva é $n = 24$.

Cenário V = 90000

Se $V = 90000$, a equação se torna:
$$
n^2 + 6n – \frac{6 \cdot 90000}{500} = 0
n^2 + 6n – \frac{540000}{500} = 0
n^2 + 6n – 1080 = 0
$$
Resolvendo a equação quadrática $n^2 + 6n – 1080 = 0$, a raiz positiva é $n = 30$.

Cenário V = 168000

Se $V = 168000$, a equação se torna:
$$
n^2 + 6n – \frac{6 \cdot 168000}{500} = 0
n^2 + 6n – \frac{1008000}{500} = 0
n^2 + 6n – 2016 = 0
$$
Resolvendo a equação quadrática $n^2 + 6n – 2016 = 0$, a raiz positiva é $n = 42$.

💡 insight

A ambiguidade do enunciado sobre o valor total a ser pago permite que diferentes valores de $V$ resultem em soluções válidas para $n$, que correspondem a diferentes alternativas.

Conclusão Final

Devido à impossibilidade matemática demonstrada pela multiplicidade de respostas válidas, a questão não possui alternativa correta. Portanto, a alternativa correta é a ANULADA.

Gabarito Oficial: Letra ANULADO

Você entendeu a lógica? Agora é sua vez de aplicar.

Desafio Imediato

Agora é sua vez

Um carro que custa 57 mil reais é comercializado por uma revendedora que oferece duas opções de pagamento, todas sem entrada e sem juros: • opção 1: pagamento em $n$ parcelas iguais; • opção 2: pagamento em 8 parcelas a mais do que na opção 1 e, com isso, o valor de cada parcela se torna R$ 400,00 menor do que o valor da parcela na opção 1. Nas duas opções de pagamento, o valor total a ser pago pelo carro é o mesmo. Qual é a quantidade $n$ de parcelas contidas na opção 1 de pagamento?

Seja $V$ o valor total a ser pago pelo carro, $n$ o número de parcelas na opção 1, e $P_1$ o valor de cada parcela na opção 1. Na opção 1, o valor total é dado por $V = n \cdot P_1$. Na opção 2, o número de parcelas é ((n+8)) e o valor de cada parcela é $P_2$. Assim, o valor total é $V = (n+8$ \cdot P_2). O problema informa que o carro custa 57 mil reais, e que o valor total a ser pago é o mesmo nas duas opções. Portanto, $V = 57000$ reais. Também é dado que o valor de cada parcela na opção 2 é R$ 400,00 menor do que na opção 1, ou seja, $P_1 - P_2 = 400$. Podemos expressar $P_1$ e $P_2$ em função de $V$ e $n$: $P_1 = \frac{V}{n}$ $P_2 = \frac{V}{n+8}$ Substituindo essas expressões na equação $P_1 - P_2 = 400$: $\frac{V}{n} - \frac{V}{n+8} = 400$ Colocando $V$ em evidência e encontrando um denominador comum: $V \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+8} \right$ = 400) $V \left( \frac{(n+8$ - n}{n(n+8)} \right) = 400) $V \left( \frac{8}{n^2 + 8n} \right$ = 400) Agora, substituímos $V = 57000$: $57000 \left( \frac{8}{n^2 + 8n} \right$ = 400) $\frac{57000 \cdot 8}{n^2 + 8n} = 400$ $456000 = 400 (n^2 + 8n$) Dividindo ambos os lados por 400: $\frac{456000}{400} = n^2 + 8n$ $1140 = n^2 + 8n$ Reorganizando a equação para a forma quadrática padrão $ax^2 + bx + c = 0$: $n^2 + 8n - 1140 = 0$ Usando a fórmula de Bhaskara para resolver para $n$: $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Onde $a=1$, $b=8$ e $c=-1140$. $n = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1140$}}{2 \cdot 1}) $n = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 4560}}{2}$ $n = \frac{-8 \pm \sqrt{4624}}{2}$ Calculando a raiz quadrada de 4624: $\sqrt{4624} = 68$ Então: $n = \frac{-8 \pm 68}{2}$ Temos duas possíveis soluções para $n$: $n_1 = \frac{-8 + 68}{2} = \frac{60}{2} = 30$ $n_2 = \frac{-8 - 68}{2} = \frac{-76}{2} = -38$ Como o número de parcelas não pode ser negativo, a solução válida é $n = 30$. A quantidade $n$ de parcelas contidas na opção 1 de pagamento é 30. Alternativa correta: C