Questão 169 - Matemática

Enunciado Oficial

Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna $P$, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização $t$, em hora, e de um parâmetro positivo $K$, que define o modelo da máquina, segundo a expressão: $ P = 4 \cdot \log(-K \cdot (t+1) \cdot (t-19)) $ O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento. O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro $K$, atendendo à recomendação do fabricante. O maior valor a ser escolhido para $K$ é

$10^{0,5}$

Correta — O valor é obtido ao garantir que a pressão máxima, que ocorre no vértice da parábola, não exceda 10 atmosferas.

$10^{8}$

Incorreta — Este valor de $K$ é muito alto e faria a pressão exceder o limite estabelecido.

$\frac{10^{2,5}}{84}$

Incorreta — Este valor resultaria de um erro no cálculo do máximo da função quadrática ou na resolução da desigualdade.

$\frac{10^{2,5}}{99}$

Incorreta — Este valor seria obtido se o ponto de máxima pressão fosse considerado em $t=10$ horas, em vez do vértice da parábola.

$25\times10^{-2}$

Incorreta — Este valor de $K$ é muito pequeno e não representa o maior valor possível para atender à condição.

Pré-Requisitos

• Função logarítmica (propriedades e definição)
• Função quadrática (vértice de parábola)
• Análise de desigualdades
• Interpretação de texto matemático

Ideia da Questão

A questão pede o maior valor de um parâmetro $K$ para que a pressão máxima de uma máquina, modelada por uma função logarítmica, não exceda um limite. A estratégia envolve encontrar o ponto de máximo de uma função quadrática dentro de um intervalo e aplicar propriedades de logaritmos.

Resolução Passo a Passo

Passo 1 Interpretar a condição de pressão

A pressão $P$ da máquina não deve ultrapassar 10 atmosferas, ou seja, $P \le 10$. A expressão da pressão é dada por:
$$
P = 4 \cdot \log[-K \cdot (t+1) \cdot (t-19)]
$$

Passo 2 Definir o intervalo de tempo

O período de funcionamento contínuo da máquina é de 10 horas. Assim, o tempo $t$ varia no intervalo $t \in [0, 10]$.

Passo 3 Analisar o domínio do logaritmo

Para que o logaritmo seja definido, seu argumento deve ser positivo:
$$
-K \cdot (t+1) \cdot (t-19) > 0
$$
Como $K$ é um parâmetro positivo, a desigualdade se torna:
$$
-(t+1)(t-19) > 0
$$
Considerando a função $f(t) = -(t+1)(t-19) = -t^2 + 18t + 19$, que é uma parábola com concavidade para baixo e raízes em $t = -1$ e $t = 19$. Ela é positiva no intervalo $(-1, 19)$.

💡 insight

O intervalo de funcionamento da máquina, $t \in [0, 10]$, está contido em $(-1, 19)$. Portanto, o argumento do logaritmo é sempre positivo dentro do período de operação.

Passo 4 Determinar o máximo da pressão

A função $P = 4 \cdot \log[K \cdot f(t)]$ é crescente em relação ao seu argumento $K \cdot f(t)$. Como $K$ é positivo, a pressão $P$ será máxima quando a função $f(t) = -t^2 + 18t + 19$ for máxima.
O vértice de uma parábola $ax^2 + bx + c$ ocorre em $x_v = \frac{-b}{2a}$.
$$
t_v = \frac{-18}{2(-1)} = \frac{-18}{-2} = 9
$$

💡 insight

Como $t=9$ está dentro do intervalo de funcionamento $t \in [0, 10]$, o valor máximo de $f(t)$ ocorre em $t=9$.

Passo 5 Calcular o valor máximo de f(t)

Cálculo de f(9)

$$
f(9) = -(9+1)(9-19)
f(9) = -(10)(-10)
f(9) = 100
$$

Passo 6 Aplicar a condição de pressão

A pressão máxima deve ser menor ou igual a 10 atmosferas. Substituindo $f(9) = 100$:
$$
4 \cdot \log[K \cdot f(9)] \le 10
4 \cdot \log[K \cdot 100] \le 10
$$

Passo 7 Resolver a desigualdade para K

Resolução da desigualdade

$$
\log[100K] \le \frac{10}{4}
\log[100K] \le 2.5
$$

insight
Como a base do logaritmo é 10 (e $10 > 1$), a desigualdade se mantém ao aplicar a função exponencial na base 10.
::
$$
100K \le 10^{2.5}
K \le \frac{10^{2.5}}{100}
K \le \frac{10^{2.5}}{10^2}
K \le 10^{2.5 – 2}
K \le 10^{0.5}
$$
::

Passo 8 Concluir o maior valor de K

O maior valor possível para $K$ que satisfaz a condição $K \le 10^{0.5}$ é $10^{0.5}$.

Conclusão Final

O maior valor possível para o parâmetro $K$ é $10^{0.5}$. Portanto, a alternativa correta é a A.

Gabarito Oficial: Letra A

Você entendeu a lógica? Agora é sua vez de aplicar.

Desafio Imediato

Agora é sua vez

QUESTÃO 169 Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna $P$, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização $t$, em hora, e de um parâmetro positivo $K$, que define o modelo da máquina, segundo a expressão: $P=3\cdot\log -K\cdot(t+2$\cdot(t-18) ) O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 9 atmosferas durante seu funcionamento. O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro $K$, atendendo à recomendação do fabricante. O maior valor a ser escolhido para $K$ é

1. Interpretar a condição de pressão: O fabricante recomenda que a pressão $P$ não ultrapasse 9 atmosferas, ou seja, $P \le 9$. A expressão da pressão é $P = 3 \cdot \log -K \cdot (t+2$ \cdot (t-18) ). 2. Definir o intervalo de funcionamento: O empresário usará a máquina por um período contínuo de 10 horas. Isso significa que o tempo $t$ varia de (0) a (10) horas, ou seja, $t \in [ 0, 10 ]$. 3. Analisar o argumento do logaritmo: Para que o logaritmo seja definido, o argumento deve ser positivo: $-K \cdot (t+2$ \cdot (t-18) \ > 0). Como $K$ é positivo, precisamos que (-(t+2)(t-18) > 0). A função (f(t) = -(t+2)(t-18) = -t^2 + 16t + 36) é uma parábola com concavidade para baixo, cujas raízes são $t = -2$ e $t = 18$. Ela é positiva no intervalo ((-2, 18)). O intervalo de funcionamento ([ 0, 10 ]) está contido em ((-2, 18)), então o argumento do logaritmo é sempre positivo. 4. Encontrar o valor máximo da pressão: A função $P = 3 \cdot \log K \cdot f(t$ ) é crescente em relação ao seu argumento $K \cdot f(t$). Como $K$ é positivo, $P$ será máxima quando (f(t) = -t^2 + 16t + 36) for máxima. O vértice dessa parábola ocorre em $t_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-16}{2(-1$} = 8). Como $t=8$ está dentro do intervalo de funcionamento ([ 0, 10 ]), o valor máximo de (f(t)) ocorre em $t=8$. 5. Calcular o valor máximo de (f(t)): (f(8) = -$8+2$$8-18$ = -(10)(-10) = 100). 6. Aplicar a condição de pressão máxima: A pressão máxima deve ser menor ou igual a 9 atmosferas. \ 3 \cdot \log K \cdot f(8) \le 9 \ \ 3 \cdot \log K \cdot 100 \le 9 \ 7. Resolver a desigualdade para $K$: \ \log(100K) \le \frac{9}{3} \ \ \log(100K) \le 3 \ Como a base do logaritmo é 10 $e (10 > 1$), a desigualdade se mantém ao aplicar a exponencial: \ 100K \le 10^{3} \ \ K \le \frac{10^{3}}{100} \ \ K \le \frac{10^{3}}{10^2} \ \ K \le 10^{3 - 2} \ \ K \le 10^{1} \ 8. Determinar o maior valor de $K$: O maior valor possível para $K$ que satisfaz a condição é $10^{1}$.