Questão 168 - Matemática
Um confeiteiro passou a produzir tortas em formato de cilindro circular reto, com raio da base variando entre 12 cm e 16 cm e altura de 6 cm. Essas tortas deverão ser embaladas em caixas com formato de prisma reto de base quadrada, de modo que seja possível acomodar a torta em seu interior e ainda restar pelo menos 1 cm de distância entre a torta e as superfícies internas da caixa, lateral e superior. Ele dispõe, originalmente, de caixas no formato pretendido, cujas dimensões internas são 14 cm de comprimento do lado da base e 7 cm de altura, que não atendem às suas necessidades. Portanto, ele comprará novas caixas, com o mesmo formato das caixas originais, mas com comprimento do lado da base maior, que sejam adequadas para embalar todos os tipos de torta que produz. A aresta da base das novas caixas deve ser, no mínimo, quantos centímetros maior do que a das caixas originais?
4
Incorreta — Não considera o diâmetro da torta nem as folgas laterais.
12
Incorreta — O valor é insuficiente para acomodar a torta maior com a folga necessária.
16
Incorreta — Confunde-se com o raio máximo da torta, não representando o diâmetro ou as folgas.
18
Incorreta — O valor não permite a folga de 1 cm de cada lado para a torta de maior diâmetro.
20
Correta — O aumento de 20 cm resulta em uma aresta de 34 cm, que acomoda a torta de 32 cm de diâmetro com 1 cm de folga em cada lado.
Pré-Requisitos
• Cálculo de diâmetro a partir do raio
• Interpretação de problemas de geometria espacial
• Noções de medidas e folgas
Ideia da Questão
A questão pede o aumento mínimo na aresta da base de uma caixa para acomodar uma torta cilíndrica. Para isso, deve-se considerar a maior torta possível e as folgas laterais e superiores exigidas.
Resolução Passo a Passo
O confeiteiro precisa de caixas para a maior torta que produz. O raio da base da torta varia entre 12 cm e 16 cm. Portanto, a maior torta tem um raio de 16 cm e uma altura de 6 cm.
$$
\text{Diâmetro da maior torta} = 2 \times 16 = 32 \text{ cm}
$$
A torta cilíndrica será embalada em uma caixa de base quadrada. É necessário que haja pelo menos 1 cm de folga entre a torta e as superfícies laterais da caixa.
A aresta da base da caixa deve ser igual ao diâmetro da torta mais 1 cm de folga de cada lado.
$$
\text{Aresta da base mínima} = 32 \text{ cm} + 1 \text{ cm} + 1 \text{ cm} = 34 \text{ cm}
$$
Não se esqueça de adicionar a folga de 1 cm em ambos os lados da torta na base.
A altura da torta é 6 cm. Para que haja pelo menos 1 cm de folga entre a torta e a superfície superior da caixa, a altura mínima da caixa deve ser:
$$
\text{Altura mínima da caixa} = 6 \text{ cm} + 1 \text{ cm} = 7 \text{ cm}
$$
As caixas originais já possuem 7 cm de altura, o que atende a este requisito.
A aresta da base mínima necessária para as novas caixas é de 34 cm. As caixas originais têm uma aresta da base de 14 cm.
O aumento mínimo na aresta da base das novas caixas é a diferença entre a aresta da base mínima necessária e a aresta da base das caixas originais.
$$
\text{Aumento mínimo} = 34 \text{ cm} – 14 \text{ cm} = 20 \text{ cm}
$$
Conclusão Final
O aumento mínimo necessário na aresta da base é de 20 cm. Portanto, a alternativa correta é a E.