Questão 166 - Matemática
O dono de uma embarcação deve partir do ponto P e chegar ao ponto R por meio de dois deslocamentos lineares e navegando a uma velocidade constante. Essa viagem será feita durante a noite, e como ele dispõe somente de uma bússola e de um relógio, planejou sua rota da seguinte forma: 1º – partir do ponto P na direção 110 e navegar por 4 horas, alcançando um ponto Q; 2º – partir do ponto Q na direção 90 e navegar por 2 horas, alcançando o ponto de destino R. No entanto, ao direcionar o barco para o primeiro deslocamento, o fez na direção 340, em vez de 110. Com isso, realizou os seguintes deslocamentos: 1º – partiu do ponto P na direção 340 e navegou por 4 horas, alcançando um ponto S; 2º – partiu do ponto S na direção 90 e navegou por 2 horas, alcançando o ponto T. A figura apresenta a bússola, a rota planejada e a rota executada. 
O dono da embarcação só percebeu o equívoco ao chegar ao ponto T. Com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto T, chegar ao ponto de destino R por meio de uma rota retilínea. Considere 0,64 como aproximação para cos 50°. A direção e o tempo aproximado de navegação que o dono da embarcação deve utilizar são, respectivamente,
135 e 7 horas e 15 minutos.
Correta — A direção e o tempo foram calculados corretamente.
45 e 7 horas e 15 minutos.
Incorreta — Erro no cálculo da direção média dos vetores.
135 e 12 horas.
Incorreta — A direção está correta, mas o tempo foi calculado de forma incorreta.
135 e 6 horas.
Incorreta — A direção está correta, mas o tempo foi subestimado.
45 e 6 horas.
Incorreta — Erros nos cálculos da direção e do tempo.
Pré-Requisitos
• Adição e subtração de vetores
• Trigonometria em triângulos isósceles (ou Lei dos Cossenos)
• Fórmulas de arco duplo (cosseno da metade de um ângulo)
Ideia da Questão
O problema exige que o aluno modele os trajetos como vetores e perceba que, como o segundo trecho de ambas as rotas é idêntico, o vetor de correção final é equivalente à diferença entre os primeiros trechos. A partir daí, utiliza-se a geometria do triângulo formado e a fórmula do arco duplo para encontrar a direção e o tempo.
Resolução Passo a Passo
Podemos modelar os deslocamentos como vetores, onde o módulo representa o tempo de viagem.
A rota planejada é \( \vec{PR} = \vec{PQ} + \vec{QR} \).
A rota executada é \( \vec{PT} = \vec{PS} + \vec{ST} \).
O trajeto de correção desejado é o vetor \( \vec{TR} = \vec{PR} – \vec{PT} \).
Perceba que os segundos trechos são idênticos em direção e tempo.
Como \( \vec{QR} = \vec{ST} \), podemos simplificar a expressão para o vetor de correção:
$$
\vec{TR} = \vec{PQ} – \vec{PS}
\vec{TR} = \vec{PQ} + (-\vec{PS})
\vec{TR} = \vec{PQ} + \vec{SP}
\vec{TR} = \vec{SQ}
$$
O vetor \( \vec{SQ} \) é a soma de \( \vec{SP} \) e \( \vec{PQ} \).
A direção de \( \vec{PS} \) é \( 340^\circ \). Portanto, a direção de \( \vec{SP} \) (vetor oposto) é \( 340^\circ – 180^\circ = 160^\circ \).
A direção de \( \vec{PQ} \) é \( 110^\circ \).
Ambos os trechos \( \vec{SP} \) e \( \vec{PQ} \) duram 4 horas, o que significa que seus módulos são iguais.
Quando somamos dois vetores de mesmo módulo, a direção do vetor resultante é a média das direções dos vetores componentes.
$$
\text{Direção} = \frac{160^\circ + 110^\circ}{2} = \frac{270^\circ}{2} = 135^\circ
$$
Para vetores de mesmo módulo \( M \) e ângulo \( \alpha \) entre eles, o módulo da soma é \( 2M \cos(\alpha/2) \). O ângulo entre \( \vec{SP} \) e \( \vec{PQ} \) é \( |160^\circ – 110^\circ| = 50^\circ \).
O módulo (tempo) de \( \vec{SQ} \) é:
$$
|\vec{SQ}| = 2 \cdot |\vec{SP}| \cdot \cos\left(\frac{50^\circ}{2}\right)
|\vec{SQ}| = 2 \cdot 4 \cdot \cos(25^\circ)
|\vec{SQ}| = 8 \cos(25^\circ)
$$
Utilizamos a fórmula do arco duplo para \( \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) – 1 \).
Com \( \theta = 25^\circ \), temos \( 2\theta = 50^\circ \).
Sabemos que \( \cos(50^\circ) \approx 0,64 \).
$$
\cos(50^\circ) = 2\cos^2(25^\circ) – 1
0,64 = 2\cos^2(25^\circ) – 1
1,64 = 2\cos^2(25^\circ)
\cos^2(25^\circ) = \frac{1,64}{2}
\cos^2(25^\circ) = 0,82
$$
$$
\cos(25^\circ) = \sqrt{0,82}
\cos(25^\circ) \approx 0,9055
$$
::calc[Tempo de navegação]
$$
\text{Tempo} = 8 \cdot \cos(25^\circ)
\text{Tempo} \approx 8 \cdot 0,9055
\text{Tempo} \approx 7,244 \text{ horas}
$$
Para converter a parte decimal para minutos:
$$
0,244 \text{ horas} \cdot 60 \text{ min/hora} \approx 14,64 \text{ minutos}
$$
Portanto, o tempo de navegação é aproximadamente 7 horas e 15 minutos.
Conclusão Final
A direção de correção é \( 135^\circ \) e o tempo de navegação é de aproximadamente 7 horas e 15 minutos.
Portanto, a alternativa correta é a A.
Você entendeu a lógica? Agora é sua vez de aplicar.
Agora é sua vez
QUESTÃO 166 O dono de uma embarcação deve partir do ponto P e chegar ao ponto R por meio de dois deslocamentos lineares e navegando a uma velocidade constante. Essa viagem será feita durante a noite, e como ele dispõe somente de uma bússola e de um relógio, planejou sua rota da seguinte forma: 1º – partir do ponto P na direção 100 e navegar por 3 horas, alcançando um ponto Q; 2º – partir do ponto Q na direção 80 e navegar por 1 hora, alcançando o ponto de destino R. No entanto, ao direcionar o barco para o primeiro deslocamento, o fez na direção 320, em vez de 100. Com isso, realizou os seguintes deslocamentos: 1º – partiu do ponto P na direção 320 e navegou por 3 horas, alcançando um ponto S; 2º – partiu do ponto S na direção 80 e navegou por 1 hora, alcançando o ponto T. A figura apresenta a bússola, a rota planejada e a rota executada. O dono da embarcação só percebeu o equívoco ao chegar ao ponto T. Com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto T, chegar ao ponto de destino R por meio de uma rota retilínea. Considere 0,766 como aproximação para cos 40°. A direção e o tempo aproximado de navegação que o dono da embarcação deve utilizar são, respectivamente,