Questão 160 - Matemática
Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria. Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 10 casais?
10 × 9 × 8
Incorreta — Não considera as 20 pessoas individualmente e aplica a restrição de forma incorreta.
20 × 18 × 16
Correta — O cálculo de \(20 \times 18 \times 16\) considera corretamente as restrições para cada cargo.
20 × 19 × 18
Incorreta — Não aplica a restrição de que cônjuges não podem ocupar cargos, calculando um arranjo simples de 20 pessoas para 3 cargos.
10 × 9 × 8 × 2
Incorreta — A lógica de contagem está equivocada, não seguindo o Princípio Fundamental da Contagem com as restrições dadas.
20 × 18 × 16 × 2
Incorreta — Multiplica o resultado correto por um fator desnecessário, sem base nas restrições do problema.
Pré-Requisitos
• Princípio Fundamental da Contagem
• Análise Combinatória (Arranjos)
• Interpretação de restrições em problemas combinatórios
Ideia da Questão
A questão pede para determinar o número de maneiras de formar uma diretoria com cargos distintos (presidente, secretário e tesoureiro). A estratégia envolve aplicar o Princípio Fundamental da Contagem, considerando a restrição de que no máximo uma pessoa por casal pode ocupar um cargo.
Resolução Passo a Passo
Existem 10 casais, totalizando 20 pessoas.
$$
10 \times 2 = 20
$$
Para o cargo de Presidente, qualquer uma das 20 pessoas pode ser escolhida.
Há 20 opções para o Presidente.
Uma pessoa já foi escolhida como Presidente. A restrição “no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo” impede que o cônjuge do Presidente seja o Secretário. Assim, das 20 pessoas iniciais, 1 já é Presidente e 1 (o cônjuge do Presidente) está impedida.
$$
20 – 1 – 1 = 18
$$
Há 18 opções para o Secretário.
Duas pessoas já foram escolhidas (Presidente e Secretário). Como elas pertencem a casais diferentes (devido à restrição), seus respectivos cônjuges também estão impedidos de ocupar o cargo de Tesoureiro. Portanto, das 20 pessoas iniciais, 2 já ocupam cargos e 2 (seus cônjuges) estão impedidas.
$$
20 – 2 – 2 = 16
$$
Há 16 opções para o Tesoureiro.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de diretorias diferentes é o produto do número de opções para cada cargo.
$$
20 \times 18 \times 16 = 5760
$$
Conclusão Final
O número total de diretorias possíveis é 5760. Portanto, a alternativa correta é a B.
Você entendeu a lógica? Agora é sua vez de aplicar.
Agora é sua vez
Oito casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria. Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 8 casais?