Questão 157 - Matemática
Uma empresa produziu, em um determinado mês, 110 toneladas de plástico a partir de derivados de petróleo e 80 toneladas a partir de plásticos reciclados. O custo para reciclar uma tonelada de plástico é de R$ 500,00, que equivale a 5% do custo para produzir a mesma quantidade de plástico a partir de derivados de petróleo. Para o mês seguinte, a meta dessa empresa é produzir a mesma quantidade de plástico que foi produzida nesse mês, mas com redução de, pelo menos, 50% no custo de produção. Para que no mês seguinte a empresa atinja a meta, a quantidade mínima de toneladas de plástico que devem ser produzidas a partir de reciclagem deverá ser
135.
Incorreta — A produção de 135 toneladas de plástico reciclado resultaria em um custo total acima da meta estabelecida.
140.
Correta — A produção de 140 toneladas de plástico reciclado é a quantidade mínima para atingir a meta de redução de 50% no custo total.
155.
Incorreta — Embora atinja a meta, 155 toneladas não representa a quantidade mínima exigida.
160.
Incorreta — Embora atinja a meta, 160 toneladas não representa a quantidade mínima exigida.
175.
Incorreta — Embora atinja a meta, 175 toneladas não representa a quantidade mínima exigida.
Pré-Requisitos
• Cálculo de porcentagem
• Interpretação de problemas
• Montagem e resolução de equações/inequações de 1º grau
Ideia da Questão
A questão pede a quantidade mínima de plástico reciclado para atingir uma meta de redução de custos. A estratégia envolve calcular os custos atuais, definir a meta de custo e, em seguida, modelar uma inequação para o mês seguinte.
Resolução Passo a Passo
O custo para reciclar uma tonelada de plástico é de R$ 500,00, o que corresponde a 5% do custo de produção de uma tonelada a partir de derivados de petróleo. Se \(C_{\text{petróleo}}\) é o custo de 1 tonelada de plástico de petróleo, temos:
$$
0,05 \times C_{\text{petróleo}} = 500
$$
$$
C_{\text{petróleo}} = \frac{500}{0,05}
$$
$$
C_{\text{petróleo}} = 10.000 \text{ R\$/tonelada}
$$
O plástico virgem é significativamente mais caro que o reciclado.
No mês atual, foram produzidas 110 toneladas de plástico de petróleo e 80 toneladas de plástico reciclado.
$$
\text{Custo petróleo} = 110 \times 10.000 = 1.100.000 \text{ R\$}
$$
$$
\text{Custo reciclado} = 80 \times 500 = 40.000 \text{ R\$}
$$
$$
\text{Custo total atual} = 1.100.000 + 40.000 = 1.140.000 \text{ R\$}
$$
O custo total atual é a soma dos custos de cada tipo de plástico produzido.
A meta é reduzir em, pelo menos, 50% o custo de produção atual. Isso significa que o custo máximo para o próximo mês deve ser 50% do custo atual.
$$
\text{Custo máximo} = 1.140.000 \times 0,50 = 570.000 \text{ R\$}
$$
A meta de redução de 50% define o limite superior para o custo do próximo mês.
A quantidade total de plástico a ser produzida no mês seguinte é a mesma do mês atual: \(110 + 80 = 190\) toneladas.
Seja \(x\) a quantidade de toneladas de plástico reciclado no mês seguinte. Assim, a quantidade de plástico de petróleo será \(190 – x\) toneladas.
O custo total para o mês seguinte será:
$$
C_{\text{total}} = (190 – x) \times 10.000 + x \times 500
$$
Para atingir a meta, o custo total deve ser menor ou igual a R$ 570.000,00:
$$
(190 – x) \times 10.000 + x \times 500 \le 570.000
$$
Vamos resolver a inequação para encontrar o valor mínimo de \(x\).
$$
1.900.000 – 10.000x + 500x \le 570.000
$$
$$
1.900.000 – 9.500x \le 570.000
$$
$$
1.900.000 – 570.000 \le 9.500x
$$
$$
1.330.000 \le 9.500x
$$
$$
x \ge \frac{1.330.000}{9.500}
$$
$$
x \ge 140
$$
A quantidade mínima de plástico reciclado é 140 toneladas para atingir a meta de custo.
Conclusão Final
A quantidade mínima de plástico reciclado para atingir a meta de custo é de 140 toneladas. Portanto, a alternativa correta é a B.
Você entendeu a lógica? Agora é sua vez de aplicar.
Agora é sua vez
QUESTÃO 157 Uma empresa produziu, em um determinado mês, 120 toneladas de plástico a partir de derivados de petróleo e 60 toneladas a partir de plásticos reciclados. O custo para reciclar uma tonelada de plástico é de R$ 600,00, que equivale a 4% do custo para produzir a mesma quantidade de plástico a partir de derivados de petróleo. Para o mês seguinte, a meta dessa empresa é produzir a mesma quantidade de plástico que foi produzida nesse mês, mas com redução de, pelo menos, 40% no custo de produção. Para que no mês seguinte a empresa atinja a meta, a quantidade mínima de toneladas de plástico que devem ser produzidas a partir de reciclagem deverá ser