Questão 155 - Matemática
Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância \(D\) da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo \(T\), em minuto, de acordo com uma função do tipo \(D=k+tg p(T+m\) ,) sendo os parâmetros \(k\), \(p\) e \(m\) números reais, para \(T\) variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de \(D\). 
A expressão algébrica que representa a relação entre \(D\) e \(T\) é
\(D=2,5+tg\left 30\left(T-\frac{5-2\pi}{2}\right\)\right \ )
Incorreta — Os parâmetros \(k\), \(p\) e \(m\) estão incorretos.
\(D=4+tg\left 30\left(T+\frac{5}{2}\right\)\right \ )
Incorreta — Os parâmetros \(k\) e \(p\) estão incorretos.
\(D=4+tg\left 2,5\left(T+\frac{5+2\pi}{2}\right\)\right \ )
Incorreta — Os parâmetros \(k\), \(p\) e \(m\) estão incorretos.
\(D=30+tg\left \frac{1}{2}(T-5\)\right \ )
Incorreta — O parâmetro \(m\) está incorreto.
\(D=30+tg\left \frac{1}{2}\left(T-\frac{5}{2}\right\)\right \ )
Correta — Todos os parâmetros \(k\), \(p\) e \(m\) estão corretos.
Pré-Requisitos
• Conhecimento da função tangente e suas propriedades.
• Identificação de assíntotas verticais de funções trigonométricas.
• Cálculo do período de uma função trigonométrica.
• Interpretação de gráficos de funções.
Ideia da Questão
A questão solicita a expressão algébrica de uma função tangente, \(D=k+\tan[p(T+m)]\), a partir de seu gráfico. Para isso, utilizaremos as assíntotas verticais e um ponto conhecido para determinar os parâmetros \(k\), \(p\) e \(m\).
Resolução Passo a Passo
A função geral é \(D = k + \tan[p(T+m)]\). As assíntotas verticais da função tangente básica \(\tan(x)\) ocorrem em \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\), onde \(n\) é um número inteiro.
Para a função dada, as assíntotas ocorrem quando o argumento da tangente é igual a \(\frac{\pi}{2} + n\pi\), ou seja, \(p(T+m) = \frac{\pi}{2} + n\pi\).
O gráfico fornece as assíntotas verticais consecutivas \(T_1 = \frac{5-2\pi}{2}\) e \(T_2 = \frac{5+2\pi}{2}\). O período da função tangente é a distância entre duas assíntotas consecutivas.
$$
\text{Período} = T_2 – T_1 = \frac{5+2\pi}{2} – \frac{5-2\pi}{2} = \frac{5+2\pi – 5 + 2\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} = 2\pi
$$
Portanto, o período da função é \(2\pi\).
Para uma função do tipo \(\tan[p(T+m)]\), o período é dado por \(\frac{\pi}{|p|}\).
$$
\frac{\pi}{|p|} = 2\pi \implies |p| = \frac{1}{2}
$$
Como a função é crescente no intervalo dado pelo gráfico, o parâmetro \(p\) deve ser positivo. Assim, \(p = \frac{1}{2}\).
O ponto central de um ciclo da função tangente, onde \(\tan(\text{argumento}) = 0\), está no ponto médio entre as assíntotas.
$$
T_{\text{centro}} = \frac{T_1 + T_2}{2} = \frac{\frac{5-2\pi}{2} + \frac{5+2\pi}{2}}{2} = \frac{\frac{10}{2}}{2} = \frac{5}{2}
$$
O centro do ciclo ocorre em \(T = \frac{5}{2}\).
No ponto central do ciclo, o argumento da função tangente deve ser zero (ou um múltiplo de \(\pi\)).
$$
p(T_{\text{centro}}+m) = 0
$$
$$
\frac{1}{2}\left(\frac{5}{2}+m\right) = 0 \\
\frac{5}{2}+m = 0 \\
m = -\frac{5}{2}
$$
insight
Assim, o parâmetro \(m\) é \(-\frac{5}{2}\).
::
Com \(p = \frac{1}{2}\) e \(m = -\frac{5}{2}\), a função é \(D = k + \tan\left[\frac{1}{2}\left(T-\frac{5}{2}\right)\right]\). O gráfico indica que a curva passa pelo ponto \(\left(\frac{5}{2}, 30\right)\).
$$
30 = k + \tan\left[\frac{1}{2}\left(\frac{5}{2}-\frac{5}{2}\right)\right] \\
30 = k + \tan[0] \\
30 = k + 0 \\
k = 30
$$
insight
Portanto, o parâmetro \(k\) é \(30\).
::
Com todos os parâmetros encontrados, a expressão algébrica completa da função é \(D = 30 + \tan\left[\frac{1}{2}\left(T-\frac{5}{2}\right)\right]\).
Conclusão Final
A expressão algébrica que representa a relação entre \(D\) e \(T\) é \(D = 30 + \tan\left[\frac{1}{2}\left(T-\frac{5}{2}\right)\right]\). Portanto, a alternativa correta é a E.